G x g a x a: Determine g(x+a)−g(x) for the following function. g(x)=4×2+2x

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике - Элементы математического анализа

правила вычисления производных производная суммы производная разности производная произведения производная частного (дроби) производная сложной функции таблица производных

Правила вычисления производных

     Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

      Правило 1 (производная от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

(c f (x))' = c f ' (x) ,

где  c – любое число.

      Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции

.

      Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f (x) + g (x))' = f ' (x) + g' (x),

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

      Правило 3 (производная разности функций). Производная разности функций вычисляется по формуле

(f (x) – g (x))' = f ' (x) – g' (x),

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

      Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f (x) g (x))' =
= f ' (x) g (x) + f (x) g' (x),

      Другими словами, производная от произведения двух функций равна

производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

      Правило 5 (производная частного двух функций). Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

правила вычисления производных производная частного (дроби)правила вычисления производных производная частного (дроби)

      Определение. Рассмотрим функции   f (x)   и   g (x) .  Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

f (g (x))

При этом функцию   f (x)   называют внешней функцией, а функцию   g (x)  – внутренней функцией.

      Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле

[ f (g (x))]' = f '

(g (x)) g' (x)

      Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции   f (g (x))   в точке   x   нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке   g (x) ,   на производную внутренней функции, вычисленную в точке   x .

Таблица производных часто встречающихся функций

      В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

ФункцияФормула для производнойНазвание формулы

y = c ,

где  c – любое число

y' = 0Производная от постоянной функции

y = x c ,

где  c – любое число

y' = c xc – 1Производная степенной функции
y = e xy' = e xПроизводная от экспоненты (показательной функции с основанием   e)

y = a x

где  a – любое положительное число, не равное 1

y' = a x ln aПроизводная от показательной функции с основанием   a
y = ln x ,   x > 0производная натурального логарифма,   x > 0Производная от натурального логарифма

y = log a x ,   x > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

производная логарифма по основанию a,   x > 0Производная от логарифма по основанию   a
y = sin xy' = cos xПроизводная синуса
y = cos xy' = – sin xПроизводная косинуса

y = tg x ,

производная тангенса

производная тангенса , производная тангенсаПроизводная тангенса

y = ctg x ,

производная котангенса

производная котангенса , производная котангенсаПроизводная котангенса

y = arcsin x , производная арксинуса

производная арксинусаПроизводная арксинуса

y = arccos x , производная арккосинуса

производная арккосинусаПроизводная арккосинуса
y = arctg xпроизводная арктангенсаПроизводная арктангенса
y = arcctg xпроизводная арктангенсаПроизводная арккотангенса
Производная от постоянной функции

Функция:

y = c ,

где  c – любое число

Формула для производной:

y' = 0

Производная степенной функции

Функция:

y = x c ,

где  c – любое число

Формула для производной:

y' = c xc – 1

Производная от экспоненты (показательной функции с основанием   e)

Функция:

y = e x

Формула для производной:

y' = e x

Производная от показательной функции с основанием   a

Функция:

y = a x

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

y' = a x ln a

Производная от натурального логарифма

Функция:

y = ln x ,   x > 0

Формула для производной:

производная натурального логарифма,   x > 0
Производная от логарифма по основанию   a

Функция:

y = log a x ,   x > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная логарифма по основанию a
,   x
> 0
Производная синуса

Функция:

y = sin x

Формула для производной:

y' = cos x

Производная косинуса

Функция:

y = cos x

Формула для производной:

y' = – sin x

Производная тангенса

Функция:

y = tg x ,

где

производная тангенсапроизводная тангенса

Формула для производной:

производная тангенса ,производная тангенсапроизводная тангенса
Производная котангенса

Функция:

y = ctg x ,

где

производная котангенса

Формула для производной:

производная котангенса ,производная котангенса
Производная арксинуса

Функция:

y = arcsin x , производная арксинуса

Формула для производной:

производная арксинуса
Производная арккосинуса

Функция:

y = arccos x , производная арккосинуса

Формула для производной:

производная арккосинуса
Производная арктангенса

Функция:

y = arctg x

Формула для производной:

производная арктангенса
Производная арккотангенса

Функция:

y = arcctg x

Формула для производной:

производная арктангенса

Таблица производных сложных функций

      В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.

      В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид   f (x) = kx + b , где  k  и  b  – любые числа, производная сложной функции.

ФункцияФормула для производной

y = (kx + b) c ,

где  c – любое число.

y' = kc (kx + b
) c – 1 ,

y = ( f (x)) c ,

где  c – любое число.

производная сложной функции производная степени
y = ekx + by = kekx + b
y = e f (x)производная сложной функции производная экспоненты

y = akx + b

где  a – любое положительное число, не равное 1

производная сложной функции производная показательной функции

y = a f (x)

где  a – любое положительное число, не равное 1

производная сложной функции производная показательной функции
y = ln (kx + b) ,   kx + b > 0производная сложной функции производная показательной функции,

kx + b > 0

y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0производная сложной функции производная натурального логарифма,

f (x) > 0

y = log a (kx + b) ,   kx + b > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

производная сложной функции производная показательной функции,   kx + b > 0

y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

производная сложной функции производная логарифма,   f (x) > 0
y = sin (kx + b)y' = k cos (kx + b)
y = sin ( f (x))производная сложной функции производная синуса
y = cos (kx + b)y' = – k sin (kx + b)
y = cos ( f (x))производная сложной функции производная косинуса

y = tg (kx + b),

где производная сложной функции производная тангенса

производная сложной функции производная тангенса, производная сложной функции производная тангенса

y = tg ( f (x)),

где производная сложной функции производная тангенса

производная сложной функции производная тангенса, производная сложной функции производная тангенса

y = ctg (kx + b),

где производная сложной функции производная котангенса

производная сложной функции производная котангенса ,
производная сложной функции производная котангенса

y = ctg ( f (x)),

где производная сложной функции производная котангенса

производная сложной функции производная котангенса ,
производная сложной функции производная котангенса
y = arcsin (kx + b), производная сложной функции производная арксинусапроизводная сложной функции производная арксинуса
y = arcsin ( f (x)), производная сложной функции производная арксинусапроизводная сложной функции производная арксинуса
y = arccos (kx + b), производная сложной функции производная арккосинусапроизводная сложной функции производная арккосинуса
y = arccos ( f (x)), производная сложной функции производная арккосинусапроизводная сложной функции производная арккосинуса
y = arctg (kx + b)производная сложной функции производная арктангенса
y = arctg ( f (x))производная сложной функции производная арктангенса
y = arcctg (kx + b)производная сложной функции производная арккотангенса
y = arcctg ( f (x))производная сложной функции производная арккотангенса

Функция:

y = (kx + b) c ,

где  c – любое число.

Формула для производной:

y' = kc (kx + b) c – 1 ,

Функция:

y = ( f (x)) c ,

где  c – любое число.

Формула для производной:

производная сложной функции производная степени

Функция:

y = ekx + b

Формула для производной:

y = kekx + b

Функция:

y = e f (x)

Формула для производной:

производная сложной функции производная экспоненты

Функция:

y = akx + b

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная сложной функции производная показательной функции

Функция:

y = a f (x)

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная сложной функции производная показательной функции

Функция:

y = ln (kx + b) ,   kx + b > 0

Формула для производной:

производная сложной функции производная показательной функции,   kx + b > 0

Функция:

y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0

Формула для производной:

производная сложной функции производная натурального логарифма,   f (x) > 0

Функция:

y = log a (kx + b) ,   kx + b > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная сложной функции производная показательной функции,   kx + b > 0

Функция:

y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная сложной функции производная логарифма,   f (x) > 0

Функция:

y = sin (kx + b)

Формула для производной:

y' = k cos (kx + b)

Функция:

y = sin ( f (x))

Формула для производной:

производная сложной функции производная синуса

Функция:

y = cos (kx + b)

Формула для производной:

y' = – k sin (kx + b)

Функция:

y = cos ( f (x))

Формула для производной:

производная сложной функции производная косинуса

Функция:

y = tg (kx + b),

где производная сложной функции производная тангенса

Формула для производной:

производная сложной функции производная тангенса, производная сложной функции производная тангенса

Функция:

y = tg ( f (x)),

где производная сложной функции производная тангенса

Формула для производной:

производная сложной функции производная тангенса, производная сложной функции производная тангенса

Функция:

y = ctg (kx + b),

где производная сложной функции производная котангенса

Формула для производной:

производная сложной функции производная котангенса , производная сложной функции производная котангенса

Функция:

y = ctg ( f (x)),

где производная сложной функции производная котангенса

Формула для производной:

производная сложной функции производная котангенса , производная сложной функции производная котангенса

Функция:

y = arcsin (kx + b), производная сложной функции производная арксинуса

Формула для производной:

производная сложной функции производная арксинуса

Функция:

y = arcsin ( f (x)), производная сложной функции производная арксинуса

Формула для производной:

производная сложной функции производная арксинуса

Функция:

y = arccos (kx + b), производная сложной функции производная арккосинуса

Формула для производной:

производная сложной функции производная арккосинуса

Функция:

y = arccos ( f (x)), производная сложной функции производная арккосинуса

Формула для производной:

производная сложной функции производная арккосинуса

Функция:

y = arctg (kx + b)

Формула для производной:

производная сложной функции производная арктангенса

Функция:

y = arctg ( f (x))

Формула для производной:

производная сложной функции производная арктангенса

Функция:

y = arcctg (kx + b)

Формула для производной:

производная сложной функции производная арккотангенса

Функция:

y = arcctg ( f (x))

Формула для производной:

производная сложной функции производная арккотангенса
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Калькулятор онлайн - Найти (с решением) производную функции

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения производной функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о производной функции и правила дифференцирования и таблицу производных, т.е. список формул для нахождения производных от некоторых элементарных функций.

Если вам нужно найти уравнение касательной к графику функции, то для этого у нас есть задача Уравнение касательной к графику функции.

Примеры подробного решения >>

Введите выражение функции

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Сообщение отправлено. Спасибо.

Определение производной

Определение. Пусть функция \( y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \( x_0 \). Дадим аргументу приращение \( \Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \( \Delta y \) (при переходе от точки \( x_0 \) к точке \( x_0 + \Delta x \) ) и составим отношение \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \( \Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \( y=f(x) \) в точке \( x_0 \) и обозначают \( f'(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y'. Отметим, что y' = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x).

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\( k = f'(a) \)

Поскольку \( k = tg(a) \), то верно равенство \( f'(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \( y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \( x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f'(x) \), т.е. \( \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \). Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. Например, для функции \( y = x^2 \) справедливо приближенное равенство \( \Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \( x \), найти \( f(x) \)
2. Дать аргументу \( x \) приращение \( \Delta x \), перейти в новую точку \( x+ \Delta x \), найти \( f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \( \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Составить отношение \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f'(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \( \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \( \Delta x \) устремить к нулю, то и \( \Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \( y=\sqrt[3]{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \( f'(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

$$ C'=0 $$ $$ x'=1 $$ $$ ( f+g)'=f'+g' $$ $$ (fg)'=f'g + fg' $$ $$ (Cf)'=Cf' $$ $$ \left(\frac{f}{g} \right) ' = \frac{f'g-fg'}{g^2} $$ $$ \left(\frac{C}{g} \right) ' = -\frac{Cg'}{g^2} $$ Производная сложной функции:
$$ f'_x(g(x)) = f'_g \cdot g'_x $$

Таблица производных некоторых функций

$$ \left( \frac{1}{x} \right) ' = -\frac{1}{x^2} $$ $$ ( \sqrt{x} ) ' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ \left( x^a \right) ' = a x^{a-1} $$ $$ \left( a^x \right) ' = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left( e^x \right) ' = e^x $$ $$ ( \ln x )' = \frac{1}{x} $$ $$ ( \log_a x )' = \frac{1}{x\ln a} $$ $$ ( \sin x )' = \cos x $$ $$ ( \cos x )' = -\sin x $$ $$ ( \text{tg} x )' = \frac{1}{\cos^2 x} $$ $$ ( \text{ctg} x )' = -\frac{1}{\sin^2 x} $$ $$ ( \arcsin x )' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ ( \arccos x )' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ ( \text{arctg} x )' = \frac{1}{1+x^2} $$ $$ ( \text{arcctg} x )' = \frac{-1}{1+x^2} $$

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение cos((5pi)/12)
3 Найти точное значение arctan(-1)
4 Найти точное значение sin(75)
5 Найти точное значение arcsin(-1)
6 Найти точное значение sin(60 град. )
7 Найти точное значение sin(pi/3)
8 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
9 Найти точное значение cos(pi/3)
10 Найти точное значение sin(0)
11 Найти точное значение cos(pi/12)
12 Найти точное значение sin(30 град. )
13 Найти точное значение cos(60 град. )
14 Найти точное значение cos(30 град. )
15 Найти точное значение sin((2pi)/3)
16 Найти точное значение arcsin(1)
17 Найти точное значение sin(pi/2)
18 График f(x)=x^2
19 Найти точное значение sin(45 град. )
20 Найти точное значение sin(15)
21 Упростить квадратный корень x^2
22 Найти точное значение arccos(-1)
23 Найти точное значение tan(60 град. )
24 Найти точное значение cos(45 град. )
25 Вычислить логарифм по основанию 2 от 8
26 Упростить квадратный корень x^3
27 Найти точное значение arcsin(-1/2)
28 Найти точное значение cos(45)
29 Найти точное значение tan(30 град. )
30 Найти точное значение tan(30)
31 Найти точное значение arcsin(1)
32 Найти точное значение arctan( квадратный корень 3)
33 Найти точное значение sin(45)
34 Найти точное значение cos(0)
35 Найти точное значение tan(45 град. )
36 Найти точное значение arctan(0)
37 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
38 График y=x^2
39 Вычислить натуральный логарифм 1
40 Вычислить логарифм по основанию 3 от 81
41 Найти точное значение cos(15)
42 Вычислить логарифм по основанию 5 от 125
43 Упростить кубический корень из квадратного корня 64x^6
44 Вычислить логарифм по основанию 3 от 81
45 Вычислить логарифм по основанию 2 от 8
46 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
47 Найти точное значение cos(75)
48 Найти точное значение sin((3pi)/4)
49 Упростить (1/( квадратный корень x+h)-1/( квадратный корень x))/h
50 Упростить кубический корень x^3
51 Найти точное значение sin((5pi)/12)
52 Найти точное значение arcsin(-1/2)
53 Найти точное значение sin(30)
54 Найти точное значение sin(105)
55 Найти точное значение tan((3pi)/4)
56 Упростить квадратный корень s квадратный корень s^7
57 Упростить корень четвертой степени x^4y^2z^2
58 Найти точное значение sin(60)
59 Найти точное значение arccos(-( квадратный корень 2)/2)
60 Найти точное значение tan(0)
61 Найти точное значение sin((3pi)/2)
62 Вычислить логарифм по основанию 4 от 64
63 Упростить корень шестой степени 64a^6b^7
64 Вычислить квадратный корень 2
65 Найти точное значение arccos(1)
66 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 3)/2)
67 График f(x)=2^x
68 Найти точное значение sin((3pi)/4)
69 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
70 Вычислить логарифм по основанию 5 от 25
71 Найти точное значение tan(pi/2)
72 Найти точное значение cos((7pi)/12)
73 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
74 Найти точное значение sin((5pi)/6)
75 Преобразовать из градусов в радианы 150
76 Найти точное значение tan(pi/2)
77 Множитель x^3-8
78 Упростить корень пятой степени 1/(x^3)
79 Упростить корень пятой степени 1/(x^3)
80 Найти точное значение sin(135)
81 Преобразовать из градусов в радианы 30
82 Преобразовать из градусов в радианы 60
83 Найти точное значение sin(120)
84 Найти точное значение tan((2pi)/3)
85 Вычислить -2^2
86 Найти точное значение tan(15)
87 Найти точное значение tan((7pi)/6)
88 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 3)/2)
89 Найти точное значение sin(pi/2)
90 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
91 Упростить кубический корень 8x^7y^9z^3
92 Упростить arccos(( квадратный корень 3)/2)
93 Упростить i^2
94 Вычислить кубический корень 24 кубический корень 18
95 Упростить квадратный корень 4x^2
96 Найти точное значение sin((3pi)/4)
97 Найти точное значение tan((7pi)/6)
98 Найти точное значение tan((3pi)/4)
99 Найти точное значение arccos(-1/2)
100 Упростить корень четвертой степени x^4

Производная функции. Понятие производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Достаточное условие монотонности функции. Необходимое и достаточное условия экстремума.





Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Производная функции. Понятие производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Достаточное условие монотонности функции. Необходимое и достаточное условия экстремума.

Поделиться:   

Производная функции. Понятие производной. Геометрический смысл производной.
Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции.
Достаточное условие монотонности функции. Необходимое условие экстремума.
Достаточное условие экстремума.

Производная функции. Понятие производной, определение производной:

  • Производной (первой производной)  f ' (x) функции f  (x) в точке xo называется предел отношения
    • приращения функции Δ f (x) = f (x0 + Δx) - f (x0)
    • к приращению аргумента Δx при Δx→0,
  • если этот предел существует:

  • Второй производной  f '' (x) функции f  (x) в точке xo называется производная от производной f ' (x) в точке xo
  • Дифференцирование - это операция нахождения производной f ' (x)

Производная функции. Геометрический смысл производной:

  • Производная функции f  (x) в точке xo равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной прямой  к графику функции y = f  (x)  в точке M0(x0,y0), то есть:
    • f ' (x0) = k, где k = tg α
  • Уравнение касательной к кривой y = f (x) в точке x0 имеет вид:
    • y = f ' (x)(x-x0) + f(x0)

Производная функции. Физический смысл производной:

операций с функциями | Purplemath

Purplemath

Сначала вы узнали (еще в средней школе), что можно складывать, вычитать, умножать и делить числа. Затем вы узнали, что можно складывать, вычитать, умножать и делить многочлены. Теперь вы узнаете, что вы также можете складывать, вычитать, умножать и делить функции. Выполнение этих операций над функциями не сложнее, чем сама запись.Например, когда они дают вам формулы для двух функций и говорят, что нужно найти сумму, все, что они говорят вам сделать, это добавить две формулы. В этой теме нет ничего больше, кроме, возможно, некоторого упрощения используемых выражений.

MathHelp.com

Need a personal math teacher?
  • Дано f ( x ) = 3 x + 2 и g ( x ) = 4-5 x , найдите ( f + g ) ( x ), ( f - г ) ( x ), ( f x г ) ( x ) и ( f / г ) ( x ).

Чтобы найти ответы, все, что мне нужно сделать, это применить операции (плюс, минус, умножение и деление), которые они мне говорят, в том порядке, в котором они мне говорят.

( f + г ) ( x ) = f ( x ) + г ( x )

= [3 x + 2] + [4–5 x ]

= 3 x + 2 + 4-5 x

= 3 x -5 x + 2 + 4

= –2 x + 6

( f - г ) ( x ) = f ( x ) - г ( x )

= [3 x + 2] - [4–5 x ]

= 3 x + 2-4 + 5 x

= 3 x + 5 x + 2 - 4

= 8 x - 2

( f × г ) ( x ) = [ f ( x )] [ г ( x )]

= (3 x + 2) (4-5 x )

= 12 x + 8-15 x 2 -10 x

= –15 x 2 + 2 x + 8

Мой ответ - аккуратный список всех моих результатов, с четким указанием, что есть что.

( f + g ) ( x ) = –2 x + 6

( f - г ) ( x ) = 8 x - 2

( f × г ) ( x ) = –15 x 2 + 2 x + 8

( f / g ) ( x ) = (3 x + 2) / (4-5 x )
  • Дано f ( x ) = 2 x , g ( x ) = x + 4 и h ( x ) = 5 - x 3 , найти ( f + g ) (2), ( h - g ) (2), ( f × h ) (2) и ( h / g ) (2).

Это упражнение отличается от предыдущего тем, что мне нужно не только выполнять операции с функциями, но и выполнять оценку с определенным значением x . Чтобы найти ответы, я могу либо работать символически (как в предыдущем примере), а затем оценивать, либо я могу найти значения функций x = 2 и затем работать оттуда. В этом случае, вероятно, проще сначала оценить, поэтому:

f (2) = 2 (2) = 4

г (2) = (2) + 4 = 6

ч (2) = 5 - (2) 3 = 5 - 8 = –3

Теперь я могу оценить перечисленные выражения:

( f + г ) (2) = f (2) + г (2)

( ч - г ) (2) = ч (2) - г (2)

( f × h ) (2) = f (2) × h (2)

( ч / г ) (2) = ч (2) ÷ г (2)

Тогда мой ответ:

( f + g ) (2) = 10, ( h - g ) (2) = –9, ( f × h ) (2) = –12, ( h / г ) (2) = –0.5


Если вы сначала работаете символически, а значение x вставляете только в конце, вы все равно получите те же результаты. В любом случае будет работать. Обычно легче сначала оценить, но выбор за вами.


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в работе с функциями. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Решить», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.(Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Нажав «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления .)


  • Дано f ( x ) = 3 x 2 - x + 4, найдите упрощенную форму следующего выражения и вычислите значение h = 0:

На самом деле это не вопрос функций-операций, но что-то подобное часто возникает в контексте операций-функций.Это выглядит намного хуже, чем есть на самом деле, если я не тороплюсь и буду осторожен.

Самый простой способ продолжить это упражнение - работать по частям, упрощая по мере продвижения; затем я все соберу и упростлю в конце.

Для первой части числителя мне нужно вставить выражение « x + h » для каждого « x » в формуле функции, используя то, что я узнал о нотации функций, и затем упростите:

f ( x + h )

= 3 ( x + h ) 2 - ( x + h ) + 4

= 3 ( x 2 + 2 xh + h 2 ) - x - h + 4

= 3 x 2 + 6 xh + 3 h 2 - x - h + 4

Выражением для второй части числителя является сама функция:

Теперь вычтю и упросту:

Остается разделить на знаменатель; факторинг позволяет упростить:

Теперь я должен оценивать ч = 0, поэтому:

6 x + 3 (0) - 1 = 6 x - 1

упрощенная форма: 6 x + 3 h - 1

значение при ч = 0: 6 x - 1


Это почти все, что касается «операций над функциями», пока вы не дойдете до композиции функций.Пусть вас не беспокоят обозначения этой темы; это означает не что иное, как то, что он говорит: сложить, вычесть, умножить или разделить; затем упростите и оцените по мере необходимости. Не зацикливайтесь на этом. Это действительно так просто.

А, и последний пример? Они поместили это туда, чтобы вы могли «попрактиковаться» в том, что вы будете делать в математике. Вы, вероятно, не вспомните этого к тому времени, когда фактически перейдете к исчислению, но вы будете следовать очень похожему процессу для поиска чего-то, что называется «производными».


URL: https://www.purplemath.com/modules/fcnops.htm

.

Состав функций: составление функций в точках

Состав Функций:
Составных функций на Пункты
(стр. 2 из 6)

Разделы: Составление функции, которые являются наборами точек, Составление функций в точках, Составление функции с другими функциями, проблемы Word с использованием композиции, обратных функций и композиции


Предположим, вам дали две функции f ( x ) = 2 x + 3 и г ( x ) = x 2 + 5.Состав означает, что вы можете подключить г ( x ) в ф ( х ). Это записывается как "( f o г ) ( x ) ", произносится как « f -compose- g » размером x дюймов. И "( f o g ) ( x )" означает "" f ( г ( x )) ".То есть вы что-то подключаете для x , затем вы вставляете это значение в g , упростите, а затем вставьте результат в f . Процесс здесь такой же, как и на предыдущей странице, за исключением что теперь мы будем использовать формулы для поиска значений, а не просто читать значения из списков баллов.

  • Учитывая f ( x ) = 2 x + 3 и г ( x ) = x 2 + 5, найти ( г o ф ) (1).
  • Когда я работаю с функцией композицию, которую я обычно конвертирую »( f o г ) ( x ) " на более интуитивно понятный " f ( g ( x ))" форма. Это не обязательно, но я считаю это полезным. В этом случай, получаю:

    Это означает, что, работая справа налево (или изнутри) подключаю х = 1 в f ( x ), оценка f ( x ), а затем вставляем результат в g ( x ).Я могу делать расчеты по крупицам, вот так: f (1) = 2 (1) + 3 = 2 + 3 = 5, а с г (5) = (5) 2 + 5 = 25 + 5 = 20, затем ( g o f ) (1) = г ( f (1)) = г (5) = 20. Выполнение всех расчетов (что будет полезно позже, когда мы делаем вещи символически), это выглядит так:

      ( г о f ) (1) = g ( f (1))
      = г (2 () + 3)... настройка для вставки исходного ввода
      = г (2 (1) + 3)
      = г (2 + 3)
      = г (5)
      = () 2 + 5 ... настройка для вставки нового ввода
      = (5) 2 + 5
      = 25 + 5
      = 20

    Обратите внимание, как я написал каждый правила функции четко, оставляя открытыми круглые скобки для того, где ввод ( х или что-то еще) пойдет.Это полезный прием. Какой бы метод вы используете (побитовое или все-в-одном), ответ:

Я только что вычислил ( г o ф ) (1); в композиция может работать и в другом порядке:

  • Учитывая f ( x ) = 2 x + 3 и г ( x ) = x 2 + 5, найти ( f о г ) (1).
  • Сначала я конвертирую это в более интуитивно понятную форму, а затем я упрощу:

    Работает побитно, т.к. г (1) = (1) 2 + 5 = 1 + 5 = 4, а с f (4) = 2 (4) + 3 = 8 + 3 = 11, затем ( f o г ) (1) = г ( г (1)) = ж (4) = 11.С другой рука, работающая как все в одном (справа налево или изнутри), я получить это:

      ( ф о г ) (1) = г ( г (1))
      = ф (() 2 + 5) ... настройка для вставки исходного ввода
      = ф ((1) 2 + 5)
      = ж (1 + 5)
      = ж (4)
      = 2 () + 3... настройка для вставки нового ввода
      = 2 (4) + 3
      = 8 + 3
      = 11

    В любом случае, ответ это: Авторское право Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

Устное примечание: « f о г "- это , а не . произносится как «fogg» и « g » о f "есть , а не произносится как «гофф».Они произносятся как « f -compose- g ». и " г -компоновать- ф "соответственно. Не показывайте себя невежественным, произнося это неправильно!

Как вы видели выше, вы можете подключить одну функцию к другой. Вы также можете подключить функцию к сам:

  • Дано f ( x ) = 2 x + 3 и г ( x ) = x 2 + 5, найти ( г о г ) (1).
    • ( г о г ) (1) = г ( г (1))
      = г (() 2 + 5) ... настройка для вставки исходного ввода
      = г ((1) 2 + 5)
      = г (1 + 5)
      = г (4)
      = () 2 + 5... настройка для вставки нового ввода
      = (4) 2 + 5
      = 16 + 5
      = 11

В каждом из этих случаев Я тщательно выписал шаги, используя круглые скобки, чтобы указать, где ввод производился по формуле. Если это поможет вам сделать шагов по отдельности, затем рассчитайте г (1) вне другого г ( x ) как отдельный шаг.То есть проводите вычисления побитно, сначала находя г (1) = 4, а затем вставка 4 в г ( x ) получить г (4) = 11.

<< Предыдущая Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Возвращение к указателю Вперед >>

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета.«Составление функций в точках». Purplemath . Доступно по номеру
https://www.purplemath.com/modules/fcncomp2.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

.

Состав функций: составление функций с функциями

Состав функций:
Составление функций с Функции
(стр. 4 из 6)

Разделы: Составление функции, которые являются наборами точек, Составление функции в точках, Составление функций с другими функциями, Word задачи с использованием композиции, обратные функции и состав



Иногда нужно осторожно с областью и диапазоном составной функции.

  • Учитывая f ( x ) = sqrt ( x ) и г ( x ) = x 2, найдите домены из ( f o г ) ( x ) и ( г ) о f ) ( x ).
  • С f ( x ) включает квадратный корень, входные данные должны быть неотрицательными.Это означает, что домен (набор значений x ) для f ( x ) равно "все х > 0 ". Затем в ( г о f ) ( x ), куда воткну х первый в f ( x ) = sqrt ( x ), домен ограничен как минимум "все x > 0 ".Посмотрим как выглядят две композиции:

    Домен для квадрата root - это все входные данные, которые делают " x 2 "неотрицательный. То есть все x такое, что x 2 > 0. Решение этой проблемы для х , Я понимаю, что домен ( f o г ) ( x ) есть "все x > 2 дюйма.

    Теперь займемся другим составом:

      ( г о f ) ( x ) = g ( f ( x ))
      = г ( кв. ( x ))
      = ( ) 2
      = ( кв. ( x )) 2
      = кв. ( x ) 2

    Домен для этого все входные данные, определяющие квадратный корень.Поскольку есть только " x " внутри квадратного корня, тогда:

Если ваши начальные функции просто старые полиномы, тогда их области "все x ", и так будет домен композиции. Это в значительной степени, только если вы имеете дело со знаменателями (где нельзя делить на ноль) или квадратом корни (где у вас не может быть отрицательного), что домен когда-либо становится вопрос.


Обычно состав используется для объединения двух функций. Но иногда вас просят вернуться назад. То есть вам дадут функцию, а вас попросят подойти с двумя исходными функциями, которые они составили. Например: Авторские права Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены.

  • Дано h ( x ) = ( x + 1) 2 + 2 ( x + 1) 3, определить две функции f ( x ) и г ( x ) которые при составлении генерируют h ( x ).
  • Это просит вас замечать закономерности и выяснять, что "внутри" чего-то еще. В данном случае это похоже на квадратичный x 2 + 2 х 3, за исключением того, что вместо квадрата x , они возводят в квадрат x + 1. Другими словами, это квадратичная, в которую они подключили x + 1.Итак, давайте сделаем г ( x ) = x + 1, и затем подключите эту функцию к f ( x ) = x 2 + 2 x 3:

      ( ф о г ) ( x ) = г ( г ( x ))
      = f ( x + 1)
      = () 2 + 2 ( ) 3
      = ( x + 1) 2 + 2 ( x + 1) 3

    Затем h ( x ) может быть обозначен как состав f ( x ) = x 2 + 2 x 3 и g ( x ) = x + 1.

  • Дано h ( x ) = кв. (4 x + 1), определить две функции f ( x ) и г ( x ) которые при составлении генерируют h ( x ).
  • Поскольку квадратный корень находится "на" (или "около") "4 x + 1 ", затем 4 x + 1 равно положить внутрь квадратный корень.Мне нужно взять х , do "4 x +1 к нему, а затем извлеките квадратный корень из результата:

      г ( x ) = 4 x + 1, f ( x ) = sqrt ( x ) и h ( x ) = ( f o г ) ( х ).

<< Предыдущая Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Возвращение к указателю Вперед >>

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета.«Составление функций с функциями». Пурпур . Доступно по номеру
https://www.purplemath.com/modules/fcncomp4.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

.

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о