Точки равновесия для динамических систем
- Главная
- Моделирование
- Точки равновесия для динамических систем
Классификация точек равновесия
Характер устойчивости положений равновесия
Собственные значения матрицы системы (1) однозначно определяют характер стойкости положений равновесия:- Устойчивый узел — если действительные части всех корней уравнения (4) отрицательны, то точка равновесия системы (1)асимптотически устойчива.
- Седло, неустойчивый узел, неустойчивый фокус — если действительная часть хотя бы одного корня уравнения (4) положительна, то точка равновесия системы (1)неустойчивая.
- Центр — если уравнение (4) имеет чисто воображаемые корни, то точка равновесия системы (1) устойчива, но не асимптотически
Узел устойчивый — Справочник химика 21
. Из (3.192) видна самосопряженность К относительно скалярного произведения и ее отрицательная определенность в инвариантном подпространстве 5, являющемся линейной оболочкой векторов V . Все собственные значения К — отрицательные действительные числа, поэтому ТДР является устойчивой по первому приближению точкой типа узел , и вблизи нее невозможны затухающие периодические колебания. Такие колебания, однако, возможны, пока система находится вдали от ТДР. При этом концентрации некоторых веществ могут многократно, но ограниченное число раз, проходить через локальные экстремумы, общее число которых определяется как типом кинетики, так и механизмом сложного процесса. Для кинетики Аррениуса и линейного механизма общее число колебаний не превышает — 1 раз [85]. [c.242]Поскольку в мембранной системе переменные х и у характеризуют концентрации реагентов, а сами функции Рх(х, у) и Ру(х, у)—скорости реакции в точке мембраны, то состояние типа устойчивый узел соответствует бесколебательному режиму приближения системы к устойчивому стационарному распределению концентраций реагентов и постоянной скорости реакции. Состояния типа устойчивый фокус или устойчивый центр означают существование колебательного режима изменения концентраций и скоростей реакции в мембране, причем в первом случае происходит затухание колебаний и приближение к состоянию типа устойчивый узел, во втором-—колебательный механизм реакции сохраняется неограниченно долго за счет притока энергии и вещества извне. [c.33]
На рис. 1.6 показана диаграмма устойчивости, соответствующая линеаризованным уравнениям (1.29). Области I и II соответствуют устойчивым состояниям типа узел или фокус области III, IV, V — неустойчивым состояниям типа фокус, узел, седло, в которых возможен переход в качественно новое состояние. [c.33]
Рассмотрим возможные переходы мембранной точечной системы в новые состояния. Допустим, что система находится в стационарном состоянии типа устойчивый узел, в котором значения концентрации реагентов и управляющего параметра равны соответственно х, у и ао- Внесем возмущение, постепенно увеличивая а при этом, очевидно, будут меняться значения х и у и смещаться точка стационарного состояния. Кинетическая модель такой системы описывается уравнениями [4] [c.33]
Универсальным охлаждающим агентом в промышленных установках является вода, обладающая высокой теплоемкостью. Применение воды для этой цели объединяет операции охлаждения и гидратации в единый производственный узел. Учитывая исключительную гигроскопичность фосфорного ангидрида и устойчивость при высоких температурах, процессы охлаждения и гидратации объединены. [c.74]
Результаты испытания и эксплуатации ТКР-1000 позволили спроектировать, изготовить и провести промышленные испытания аналогичного по типу, но усовершенствованного реактора ТКР-3000 (диаметр корпуса — 3000 мм) с одной большой горелкой с учетом отходящих газов как старого, так и нового производства фенола и ацетона повышенной мощности при суммарном расходе отходящих газов 30000 м /ч на том же предприятии. Несмотря на удовлетворительные результаты испытания ТКР-3000 и горелки, последняя не обеспечивала устойчивого горения при значительных изменениях расходов отходящего газа. В дальнейшем в ТКР-3000 был смонтирован горелочный узел из пяти ранее испытанных в ТКР-1000 горелок. В ТКР-3000 также предусмотрены узел для
Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами
В предыдущей главе мы обещали, что будем изучать особые точки дифференциальных уравнений. В соответствии с общей философией, если у нас есть особая точка сложного, нелинейного уравнения, мы можем попробовать линеаризовать это уравнение (заменить его в особой точке на линейную часть) и изучить полученное линейное уравнение, ожидая, что свойства его решений будут близки к свойствам решений исходного нелинейного уравнения. Поэтому нашим первым шагом на этом пути будет изучение систем линейных дифференциальных уравнений.10.1Замена базиса в линейных системах
Итак, наш рассказ пойдёт о многомерных однородных линейных уравнениях с постоянными коэффициентами (или, что то же самое, о системах линейных уравнений с постоянными коэффициентами), то есть об уравнениях вида ˙z=Az,z(t)∈Rn,(10.1)где A:Rn→Rn — фиксированный линейный оператор. Пример 1. Вот пример уравнения вида (10.1), записанного в виде системы:˙x=2x+3y,˙y=x+4y.(10.2)
Та же система, записанная в матричной форме, имеет вид:(˙x˙y)=(2314)⋅(xy)(10.3)
Вопрос 1. Найти все особые точки уравнения (10.1), если A — невырожденная матрица.В дифференциальных уравнениях эта идея — использования хорошей системы координат — также является одной из ключевых. Прежде, чем применять её к линейным уравнениям, докажем простую лемму.
ddt(Aφ)(t)=Adφ(t)dt=A˙φ(t)
Доказательство. По определению производной,∎
ddt(Aφ)(t)=limh→0(Aφ)(t+h)−(Aφ)(t)h=…
в силу линейности оператора A…=limh→0A(φ(t+h)−φ(t))h=Alimh→0φ(t+h)−φ(t)h=Adφ(t)dt
Что и требовалось. Следствие 1. В дифференциальных линейных уравнениях можно делать замену базиса, как в обычных линейных. Действительно, пусть w(t) — новая неизвестная функция, и пусть z=Cw, где C — фиксированная невырожденная матрица. Тогда w=C−1z и˙w=C−1˙z=C−1Az=C−1ACw,
где первое равенство следует из леммы.Получили такое уравнение для новой неизвестной функции w:
˙w=C−1ACw
Это уравнение (10.1) в новых координатах. Видим, что линейное дифференциальное уравнение преобразуется при замене базиса точно так же, как обычное линейное уравнение. Это хорошая новость.10.2Классификация линейных уравнений на плоскости
Пусть n=2: мы рассматриваем линейное уравнение на плоскости. Если матрица A невырождена, система (10.1) имеет единственную особую точку, находящуюся в начале координат. Такая особая точка также называется линейной. Cвойства решений дифференциального уравнения (10.1) сильно зависят от собственных значений оператора A. Мы будем классифицировать линейные системы (или, что то же самое, линейные особые точки) в зависимости от собственных значений. Рассмотрим все возможные случаи, начиная с самых простых.10.2.1Два различных вещественных собственных значения
Пусть линейный оператор A имеет два различных вещественных собственных значения λ,μ∈R, λ≠μ. Великая наука линейная алгебра учит нас: в этом случае у матрицы A есть диагонализирующий базис. То есть существует такая матрица перехода C, что C−1AC=D, гдеD=diag(λ,μ)=(λ00μ)
Сделаем в уравнении (10.1) замену z=Cw, w=C−1z. Получим новое уравнение˙w=Dw
Пусть w=(u,v). Тогда новое уравнение запишется в виде системы:{˙u=λu,˙v=μv(10.4)
Эта система — декартово произведение двух простых уравнений. Можно легко записать явный вид решений (если вам не кажется, что это сделать легко, нужно повторить самую первую лекцию):w(t)=(u(t)v(t))=(eλt00eμt)(u0v0)
Нам бы надо записать решение в исходных координатах, но это сделать тоже легко.z(t)=Cw(t)=C(eλt00eμt)(u0v0).
Здесь даже не пришлось вычислять обратную матрицу к C! Впрочем, это ненадолго: если нам поставлена задача Коши в исходных координатах, то есть нужно найти решение z(t) с начальным условием z(0)=z0=(x0,y0), то для её решения придётся выразить начальное условие через новые координаты, а тут уже потребуется C−1:z(t)=C(eλt00eμt)C−1(x0y0)(10.6)
10.2.2Положительные различные собственные значения: неустойчивый узел
Пусть λ и μ положительны. Для определенности будем считать, что μ>λ>0 (если это не так, просто поменяем их местами). Как будет выглядеть фазовый портрет системы (10.1)? Для начала построим фазовый портрет диагонализированной системы (10.4). Согласно (10.5), все траектории, кроме особой точки (0,0), будут убегать от начала координат при t→+∞ (как говорят, «в прямом времени») и стремиться к началу координат при t→−∞ («в обратном времени») — потому что именно так ведут себя соответствующие экспоненты. Чтобы понять более точно, что происходит вблизи начала координат, заметим, что решения удовлетворяют соотношению v=Cuμ/λ.Его можно было бы получить, выразив t через v из второго уравнения и подставив в первое. А ещё можно перейти к соответствующему неавтономному уравнению (см. раздел 4.4) и решить его.Поскольку по предположению μ>λ, фазовые кривые касаются оси u при подходе к нулю (здесь можно представить себе параболу). Другой способ понять, что они будут касаться именно оси u, такой: поскольку μ>λ, в обратном времени стремление к нулю вдоль оси v будет гораздо более быстрым, чем по оси u. Фазовый портрет в координатах (u,v) выглядит как изображено на рис. 10.4. Он состоит из «параболических лучей», стремящихся к началу координат в обратном времени и пяти специальных траекторий: самого начала координат (это особая точка, которая, как мы знаем, является отдельной траекторией) и четырёх прямолинейных лучей, лежащих на осях координат.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(6, 6))
ob.axes4x4(labels=('u', 'v'))
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 5 + 1)
r = 2
x = np.cos(theta) * r
y = np.sin(theta) * r
ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array([X[0], 1.6*X[1]]),
np.array([x, y]).T, t=(-4, 2), n=50, linewidth=1.5)Диагонализируем матрицу системы. Характеристический многочлен имеет вид
(2−λ)(4−λ)−3=λ2−6λ+5=(λ−5)(λ−1),
собственные значения λ=1 и μ=5, собственные векторы (−3,1) и (1,1) соответственно, а стало быть матрица перехода к диагонализирующему базису имеет вид:C=(−3111)
В новом базисе наша система принимает вид (мы это знаем наверняка, поскольку матрица C находилась как диагонализирующая, а у диагональной матрицы на диагоналях стоят собственные значения).˙u=u,˙v=5v
Её фазовый портрет выглядит примерно так.import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(6, 6))
ob.axes4x4(labels=('u', 'v'))
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 5 + 1)
r = 1.7
x = 2 * np.cos(theta) * r
y = np.sin(theta) * r
ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array([X[0], 5 * X[1]]),
np.array([x, y]).T, t=(-2, 2), n=50, linewidth=1.5)Рис. 10.3: Фазовый портрет системы (10.2) в исходных координатах. Красные стрелочки — собственные векторы. Особая точка такого вида называется неустойчивым узлом (англ. unstable node).import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import qqmbr.odebook as ob # see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py plt.figure(figsize=(6, 6)) ob.axes4x4(labels=('x','y')) theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 5 + 1) r = 1.7 u = 2 * np.cos(theta) * r v = np.sin(theta) * r C = np.array([[-3, 1], [1, 1]]) ob.phaseportrait(lambda X: np.array([2 * X[0] + 3 * X[1], X[0] + 4 * X[1]]), (0.25 * C @ np.array([u, v])).T, t=(-2, 2), n=50, linewidth=1.5) plt.arrow(0,0,-3,1,head_width=0.2, head_length=0.3,color='red',lw=2) plt.arrow(0,0,1,1,head_width=0.2, head_length=0.3,color='red',lw=2)
10.2.3Отрицательные различные собственные значения: устойчивый узел
Если оба собственных значения отрицательны (но при этом различны), получаются такие же картинки, но стрелочки направлены в обратную сторону: теперь при t→+∞ траектории стремятся к началу координат, а при t→−∞, наоборот, уходят на бесконечность. В остальном никаких изменений нет. Соответствующая особая точка называется устойчивым узлом (англ. stable node).import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(6, 6))
ob.axes4x4(labels=('u', 'v'))
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 5 + 1)
r = 2
x = np.cos(theta) * r
y = np.sin(theta) * r
ob.phaseportrait(lambda X: np.array([-X[0], -1.6*X[1]]),
np.array([x, y]).T, t=(-2, 4), n=50, linewidth=1.5)10.2.4Собственные значения различных знаков: седло
Пусть теперь λ<0 и μ>0. Тогда, конечно, λ автоматически не совпадает с μ, оператор A диагонализируем и все рассуждения из параграф 10.2.1 работают. Из формул (10.5) в этом случае видно, что при t→+∞ ненулевое решение будет приближаться к оси v (потому что u уменьшается) и вдоль оси v уходить на бесконечность (потому что v увеличивается), и наоборот, при t→−∞ решение приближается к оси u, входя вдоль этой оси на бесконечность.Можно также найти первый интеграл системы: он имеет вид
H(x,y)=uμv−λ.
Можно проверить это по явным формулам (10.5). Обе степени положительны (мы так выбрали знаки λ и μ) и линии уровня функции H похожи на линии уровня функции uv, то есть на гиперболы. Эта особая точка имеет название седло (потому что поверхность z=H(u,v) похожа на седло), её фазовые кривые изображены на рис. 10.5.import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
from itertools import product
plt.figure(figsize=(6, 6))
ob.axes4x4(labels=('u','v'))
ob.phaseportrait(lambda X: np.array([-X[0], X[1]]),
list(product(np.linspace(-15, 15, 26), [-1, 1])) +
[[-3, 0], [3, 0], [0, 3], [0, -3]], t=(-2, 2), n=50, linewidth=1.5)10.2.5Скалярная матрица: дикритический узел
Если два собственных значения вещественной матрицы совпадают, то это единственное собственное значение является вещественным: это следует из того факта, что комплексные собственные значения (с ненулевой мнимой частью) обязаны быть комплексно сопряжёнными (см. лемму 2 ниже). В этом случае есть два варианта: матрица является либо диагонализируемой, либо эквивалентной жордановой клетке. Пусть матрица диагонализируема. В собственном базисе она имеет вид(λ00λ)=λE.
Нетрудно заметить, что на самом деле она имеет такой вид в любом базисе: скалярная матрица λE коммутирует с любой другой матрицей, поэтому для любой матрицы перехода C верноC−1λEC=λC−1EC=λE
В этом случае решение (10.5) также работает. Отличие от параграфов 10.2.2 и 10.2.3 состоит в том, что теперь фазовые кривые лежат не на параболах, а на прямолинейных лучах.Получается картинка, изображенная на рис. 10.6. Такая особая точка называется дикритическим узлом. Дикритические узлы также бывают устойчивыми или неустойчивыми, в зависимости от знака единственного собственного значения. (Нулю оно равняться не может, потому что мы рассматриваем только невырожденные матрицы.)
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(6, 6))
ob.axes4x4(labels=('u', 'v'))
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 5 + 1)
r = 2
x = np.cos(theta) * r
y = np.sin(theta) * r
ob.phaseportrait(lambda X: X,
np.array([x, y]).T, t=(-4, 2), n=50, linewidth=1.5)10.2.6Жорданова клетка: вырожденный узел
Если собственные значения матрицы совпадают, но при этом она не диагональная, значит, она и не диагонализируема. Однако она в любом случае приводится к жордановой нормальной форме. Поскольку мы работаем с матрицами 2×2, в жордановой нормальной форме есть только одна клетка. Уравнение (10.1) принимает вид(˙u˙v)=(λ10λ)⋅(uv)
В этом случае решение (10.5) не работает. Такую систему можно решать другими методами: например, можно решить второе уравнение относительно v, подставить решение в уравнение на u, после чего использовать метод вариации постоянных (см. параграф 9.2.2). Другой способ состоит в использовании комплексной экспоненты, которая будет обсуждаться в следующей главе. Мы ��ейчас пропустим явное нахождение решения и ограничимся лишь картинкой с фазовым портретом, см. рис. 10.7). Такая особая точка называется вырожденным узлом.import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(6, 6))
ob.axes4x4(labels=('u', 'v'))
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 5 + 1)
r = 3.5
x = np.cos(theta) * r
y = np.sin(theta) * r
y = np.linspace(-4, 4, 21)
x = y * 0.2
ob.phaseportrait(lambda X: np.array([- X[0] + 3 * X[1], -X[1]]),
np.array([x, y]).T, t=(-2, 4), n=50, linewidth=1.5)Упражнение 1. Доказать, что все траектории стремятся к нулю при t→+∞, касаясь оси u.
10.2.7Комплексные собственные значения
Мы полностью разобрали случай вещественных собственных значений. Однако, скалярная матрица 2×2 может иметь и комплексные собственные значения с ненулевой мнимой частью. Этот случай также необходимо разобрать.Начнём с краткого напоминания о комплексных числах.
Напомним, что комплексные числа — это числа вида z=x+iy, где i2=−1. Множество комплексных чисел C обычно изображается в виде плоскости — и, более того, оно является двумерной вещественной плоскостью (с дополнительной структурой, заданной умножением на число i). Можно говорить, что z=C≃R2. В качестве базиса можно взять 1 и i.
Напомним также, что eix=cosx+isin(x) (доказательство тривиально: достаточно подставить z=ix в ряд ez=∑∞n=0znn! и выделить вещественную и мнимую части). Пользуясь этим мы можем записать комплексное число в полярной форме: z=reiφ, z=|z| — радиус, φ=argz — угол.
В то же время, если рассматривать C как комплексное линейное пространство (то есть разрешить коэффициентам тоже быть комплексными), элементы 1 и i станут комплексно-зависимыми (т.к. i⋅i+1=0), и пространство станет одномерным. Таким образом, C — комплексная прямая.
По аналогии с Rn можно рассматривать Cn — комплексное n-мерное пространство. Но мы этого делать не будем.
Определение 1. Пусть z=x+iy∈C — комплексное число. Комплексно-сопряжённым числом к z (обозначается ¯¯¯z) называется чило ¯¯¯z=x−iy.
Лемма 2. Пусть A — вещественный оператор (задающийся вещественной матрицей) с комплексным собственным значением λ=α+iω, ω≠0, соответствующим собственному вектору v. Тогда комплексно-сопряжённое число ¯¯¯λ=α−iω также является собственным значением A с собственным вектором ¯¯¯v, получающимся из вектора v поэлементным комплексным сопряжением. Доказательство. Для матриц 2×2 это утверждение может быть доказано «в лоб», анализом формулы для корней характеристического уравнения, но мы используем более изящный (и более универсальный) подход.Поскольку λ — собственное значение, имеем:
Av=(α+iω)v
Применяя комплексное сопряжение к обеим частям этого равенства, получаем¯¯¯¯¯¯¯Av=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(α+iω)v¯¯¯¯A⋅¯¯¯v=(α−iω)¯¯¯vA⋅¯¯¯v=(α−iω)¯¯¯v Переход к последнему равенству использует тот факт, что A — вещественный оператор (можно думать о нём как о матрице с вещественными элементами), и значит совпадает со своим сопряжением. Таким образом, ¯¯¯λ также является собственным значением.∎Из доказанной леммы следует, что если собственные значения матрицы комплексны и имеют ненулевую мнимую часть, то они обязаны быть различными. На первый взгляд кажется, что тут история заканчивается: раз собственные значения различны, значит, матрица диагонализируема, можно перейти к собственному базису и получить такие же результаты, как в параграфе 10.2.1. В принципе, это правда. Но есть нюанс: диагональная матрица будет комплексной, матрица перехода тоже будет комплексной и решения будут комплексными. Но исходное уравнение было вещественным и нас интересуют его вещественные решени
Особые точки нелинейных систем на плоскости
В предыдущей главе мы обсудили, как устроены особые точки линейных систем на плоскости. Но что мы будем делать, если нам встретится нелинейное уравнение?11.1Линеаризация особой точки
Рассмотрим систему˙x=f(x,y),˙y=g(x,y).(11.1)
Пусть точка z∗=(x∗,y∗) является положением равновесия, то есть особой точкой нашей системы. В этом случае f(x∗,y∗)=0 и g(x∗,y∗)=0. Чтобы не писать каждый раз две переменные, введём векторные обозначения: z=(x,y) и F(z)=(f(z),g(z)). Система принимает вид˙z=F(z)(11.2)
Мы предполагаем, что функции f и g по крайней мере C1-гладкие (то есть имеют непрерывные частные производные) и значит отображение F является дифференцируемым. Из определения производной для функции нескольких переменных следует, чтоF(z)=F(z∗)+∂F∂z∣∣∣z=z∗(z−z∗)+o(∥z−z∗∥).(11.3)
Здесь ∂F∂z — матрица Якоби для отображения F, то есть матрица, составленная из частных производных функций f и g. Обозначим эту матрицу через A:A=(f′x(x∗,y∗)f′y(x∗,y∗)g′x(x∗,y∗)g′y(x∗,y∗)).
Заметим, что в (11.3) слагаемое F(z∗) равно нулю, поскольку z∗ является особой точкой.Сделаем замену переменных: w=(u,v)=z−z∗=(x−x∗,y−y∗). Таким образом мы перенесли особую точку в начало координат. Соотношение (11.3) принимает вид
F(z∗+w)=Aw+o(∥w∥).(11.4)
И уравнение (11.2) записывается таким образом:˙w=Aw+o(∥w∥).(11.5)
Если отбросить второе слагаемое o(∥w∥), малое по сравнению с первым, получится система˙w=Aw,(11.6)
являющаяся линейной. Она называется линеаризацией нелинейной системы (11.2) в особой точке z=z∗.Как связаны решения нелинейной системы с решениями её линеаризации в окрестности особой точки? Отброшенное при переходе к линеаризации слагаемое является очень маленьким, и чем ближе мы к особой точке, тем оно меньше. Можем ли мы им пренебречь, если нас интересует поведение системы вблизи особой точки, по крайней мере, на каком-то качественном уровне? Оказывается, ответ зависит от типа получившейся линейной особой точки.
11.2Свойства нелинейных особых точек
Говорят, что нелинейная особая точка является, например, центром по линейным членам, если её линеаризация является центром. Аналогично с другими типами особых точек.Если говорить коротко, то фазовые портреты особых точек, являющихся узлами, фокусами или сёдлами по линейным членам, очень похожи на фазовые портреты своих линеаризаций. Для точек с линеаризацией «центр» это утверждение неверно. Ниже мы сформулируем что это значит более строго.
11.2.1Невырожденный узел
Фазовые портреты линейных узлов выглядят по-разному в зависимости от типа узла. Если узел невырожденный, то есть собственные значения различны и существуют два разных собственных вектора, то почти все траектории стремятся к особой точке (в прямом или обратном времени), касаясь того собственного вектора, чьё собственное значение меньше по модулю. Фазовые кривые похожи на ветви парабол. Исключение составляют траектории с начальными условиями, лежащими на том собственном векторе, у которого собственное значение больше по модулю.Например, у системы
˙x=x,˙y=2y
собственные векторы — (1,0) с собственным значением 1 и (0,1) с собственным значением 2. Решением является вектор-функция, задаваемая компонентами x(t)=x0et, y(t)=y0e2t. При x0≠0 траектория лежит на параболеy=y0x20x2
и стремится к началу координат в обратном времени (при t→−∞), касаясь горизонтального направления (то есть направления собственного вектора с меньшим по модулю собственным значением). Исключением являются траектории с x0=0: они стремятся к нулю вдоль вертикального направления (то есть вдоль собственного вектора с большим собственным значением).Теорема 1. Вблизи нелинейной особой точки, являющейся невырожденным узлом по линейным членам, почти все фазовые кривые стремятся к особой точке, касаясь собственного вектора с меньшим по модулю собственным значением. Исключением является сама особая точка и ещё две специальные траектории, касающиеся другого собственного вектора.
Эту и следующие теоремы можно было бы вывести из так называемой теории нормальных форм, но это выходит за рамки нашего курса. Поэтому мы ограничимся примерами.
Пример 1. Построим фазовый портрет системы{˙x=2x+3y+0,3×2+0,2y2˙y=x+4y+0,1×2
вблизи особой точки (0,0). Её линеаризация в этой точке имеет матрицу из примера 1 предыдущей главы.(2314).
Собственные значения 1 и 5, собственные векторы (−3,1) и (1,1). На рис. 11.1 видно, что почти все отмеченные траектории касаются вектора (−3,1).import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(12, 6))
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 5 + 1)
r = 3
u = 1.5 * np.cos(theta) * r
v = 4 * np.sin(theta) * r
C = np.array([[-3, 1], [1, 1]])
def linear(X, t=0):
return np.array([2 * X[0] + 3 * X[1], X[0] + 4 * X[1]])
def non_linear(X, t=0, linear=linear):
return linear(X) + np.array([0.3 * X[0]**2 + 0.2 * X[1]**2,
0.1 * X[0]**2])
plt.subplot(122)
ob.axes4x4(labels=('x','y'))
ob.phaseportrait(linear,
(0.25 * C @ np.array([u, v])).T, [-2, 2], n=50,
linewidth=1.5)
plt.arrow(0,0,-3,1,head_width=0.2, head_length=0.3,color='olive',lw=2)
plt.arrow(0,0,1,1,head_width=0.2, head_length=0.3,color='olive',lw=2)
plt.subplot(121)
ob.axes4x4(labels=('x','y'))
ob.phaseportrait(non_linear,
(0.25 * C @ np.array([u, v])).T, [-2, 0.3], n=50,
linewidth=1.5)
plt.arrow(0,0,-3,1,head_width=0.2, head_length=0.3,color='olive',lw=2)
plt.arrow(0,0,1,1,head_width=0.2, head_length=0.3,color='olive',lw=2)import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
def linear(X, t=0):
return np.array([2 * X[0] + 3 * X[1], X[0] + 4 * X[1]])
def non_linear(X, t=0, linear=linear):
return linear(X) + np.array([0.3 * X[0]**2 + 0.2 * X[1]**2,
0.1 * X[0]**2])
plt.figure(figsize=(12, 6))
xmin, xmax, ymin, ymax = -10, 10, -10, 10
x = np.linspace(xmin, xmax, 500)
y = np.linspace(ymin, ymax, 500)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
U, V = linear([X, Y])
plt.subplot(121)
ob.axes4x4(labels=('x', 'y'), xmin=xmin, xmax=xmax, ymin=ymin,
ymax=ymax,
fontsize=14)
plt.streamplot(x, y, U, V)
plt.subplot(122)
ob.axes4x4(labels=('x', 'y'), xmin=xmin, xmax=xmax, ymin=ymin,
ymax=ymax,
fontsize=14)
U_, V_ = non_linear([X, Y])
plt.streamplot(x, y, U_, V_)11.2.2Дикритический узел: скалярная матрица
Если собственные значения совпадают и матрица линеаризации является скалярной (то есть тождественной умноженной на число), то все фазовые траектории (кроме особой точки) — лучи прямых, каждая стремится к особой точке под собственным углом. Для соответствующей нелинейной системы траектории не обязаны быть лучами прямых, но характеристическое свойство — стремиться к особой точке под своим собственным углом — у них сохраняется.Теорема 2. Вблизи нелинейной особой точки, являющейся дикритически�� узлом по линейным членам, все траектории (кроме самой особой точки) стремятся к особой точке, каждая под своим собственным углом. Для всякого ненулевого вектора, приложенного к началу координат, существует единственная траектория, касающееся этого вектора при t→+∞ или t→−∞.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(12, 6))
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 5 + 1)
r = 4
x = np.cos(theta) * r
y = np.sin(theta) * r
plt.subplot(122)
ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array([X[0], X[1]]),
np.array([x, y]).T, [-4, 2], n=50, linewidth=1.5)
plt.subplot(121)
ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array([X[0] - 0.2*X[0]**2, X[1]]),
np.array([x, y]).T, [-4, 0.2], n=50, linewidth=1.5)11.2.3Вырожденный узел: жорданова клетка
Если собственные значения совпадают, но матрица не является скалярной, то она в некотором базисе является жордановой клеткой. У неё есть единственный собственный вектор и все траектории такой системы, кроме особой точки, стремятся к особой точке, касаясь этого собственного вектора.Теорема 3. Вблизи нелинейной особой точки, являющейся вырожденным узлом по линейным членам, все траектории (кроме самой особой точки) стремятся к особой точке, касаясь единственного собственного вектора матрицы линеаризации.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(12, 6))
y = np.linspace(-4, 4, 21)
x = y * 0.2
plt.subplot(122)
ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array([- X[0] + 3 * X[1], -X[1]]),
np.array([x, y]).T, [-2, 4], n=50, linewidth=1.5)
plt.subplot(121)
ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array([- X[0] + 3 * X[1] + 0.1*X[1]**2,
-X[1] + 0.05 * X[0] ** 2]),
np.array([x, y]).T, [-2, 4], n=50, linewidth=1.5)Рис. 11.4: Нелинейный вырожденный узел (слева) и его линеаризация (справа) в малой окрестности особой точки.
11.2.4Фокус
В отличие от узлов, траектории фокусов стремятся к особой точке, не касаясь какого-то направления, а совершая бесконечное число оборотов вокруг особой точки. Аналогичное утверждение справедливо и для соответствующих нелинейных систем.Теорема 4. Вблизи нелинейной особой точки, являющейся фокусом по линейным членам, все траектории (кроме самой особой точки) являются спиралями, совершающими бесконечное число оборотов при при t→+∞ или t→−∞.
11.2.5Седло
У сёдел есть два вещественных собственных значения разных знаков и, соответственно, два собственных вектора. Их фазовые кривые — ветви гипербол, кроме самой особой точки и четырёх прямолинейных лучей, называющихся сепаратрисами. Две сепаратрисы стремятся к седлу при t→+∞ вдоль собственного вектора с отрицательным собственным значениям (такие сепаратрисы называются входящими), две другие сепаратрисы стремятся к седлу при t→−∞ вдоль собственного вектора с положительным собственным значением (это исходящие сепаратрисы).Например, для простейшего случая
˙x=x,˙y=−y
входящие сепаратрисы — лучи x=0,y>0 и x=0,y<0, а исходящие — лучи x>0,y=0 и x<0,y=0.У соответствующей нелинейной особой точки также существуют сепаратрисы. Они не обязаны быть прямыми, но обязаны касаться собственных векторов.
Теорема 5. Вблизи нелинейной особой точки, являющейся седлом по линейным членам, существуют две траектории, стремящиеся к особой точке при t→+∞, касаясь собственного вектора с отрицательным собственным значением, и ещё две траектории, стремящиеся к особой точке при t→−∞, касаясь собственного вектора с положительным собственным значением. Эти траектории называются сепаратрисами нелинейного седла.
Это — знаменитая теорема Адамара — Перрона, первый результат так называемой гиперболической динамики.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
from itertools import product
from scipy.integrate import odeint
from scipy.optimize import bisect
C = np.array([[2, 1], [1, -1]])
A = C @ np.diag([1, -1]) @ np.linalg.inv(C)
def find_sep(f, init_func, test_func, T=10):
def my_test(s):
init = init_func(s)
out = odeint(f, init, [0, T])[1]
return test_func(out)
return init_func(bisect(my_test, 0, 1))
def linear_homotopy(A, B, s):
return A*(1-s) + B*s
def linear(X, t=0):
return np.tensordot(A, X, axes=(1, 0))
def non_linearity(X):
return np.array([0.2*X[0]**2, -0.1*X[0]**2])
def non_linear(X, t=0):
return linear(X) + non_linearity(X)
def draw_seps(field):
stable_sep_inits = [find_sep(field,
lambda s: linear_homotopy(*endpoints, s),
lambda X: X[0] + X[1], T=20)
for endpoints in np.array([[[-3, 0], [0, 3]],
[[0, -3], [3, 0]]])]
unstable_sep_inits = [find_sep(lambda X, t: -field(X, t),
lambda s: linear_homotopy(*endpoints, s),
lambda X: X[0] - X[1], T=20)
for endpoints in np.array([[[-3, 0], [0, -3]],
[[0, 3], [3, 0]]])]
ob.phaseportrait(field, stable_sep_inits, t=(-1, 5), color='green')
ob.phaseportrait(field, unstable_sep_inits, t=(-5, 1), color='red')
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(122)
ob.axes4x4(labels=('x','y'), fontsize=14)
x = np.linspace(-4, 4)
y = np.linspace(-4, 4)
Z = np.meshgrid(x, y)
W = linear(Z)
plt.streamplot(*Z, *W)
draw_seps(linear)
plt.subplot(121)
ob.axes4x4(labels=('x','y'), fontsize=14)
W_ = non_linear(Z)
plt.streamplot(*Z, *W_)
draw_seps(non_linear)Рис. 11.5: Фазовый портрет нелинейного седла (слева) и его линеаризации (справа). Зелёным выделены входящие сепаратрисы, красным исходящие.
11.2.6Центр
Во всех предыдущих примерах было справедливо неформальное утверждение «фазовый портрет вблизи нелинейной особой точки качественно похож на фазовый портрет линеаризации». Для центров это утверждение неверно. Фазовые кривые линейного центра обязательно замкнуты. Фазовые кривые соответствующей нелинейной особой точки могут быть спиралями. Пример 2. Рассмотрим систему{˙x=y−(x2+y2)x˙y=−x−(x2+y2)y(11.7)
Её линеаризация в нуле имеет матрицу(01−10)
с собственными значениями +i и −i, то есть соответствует центру.Чтобы построить фазовый портрет системы, перейдём в полярные координаты. Нам будет проще работать не с полярным радиусом, а с его квадратом: ρ=x2+y2. Вычислим производную функции ρ вдоль векторного поля, заданного системой (11.7):
˙ρ=2x˙x+2y˙y=2x(y−(x2+y2)x)+2y(−x−(x2−y2)y)=−(x2+y2)2=ρ2.
Таким образом, имеем уравнение на ρ:˙ρ=−ρ2.
Решение этого уравнения можно найти явно, но нам достаточно того факта, что правая часть всегда отрицательна (кроме точки ρ=0) и следовательно ρ будет монотонно убывать. То есть траектория будет приближаться к началу координат.Можно также найти уравнение на полярный угол θ=arctan(y/x). Напоминим, что (arctanz)′=1/(1+z2). Значит по теореме о производной сложной функции:˙θ=˙yx−˙xyx2⋅11+y2x2==(−x−(x2+y2)y)x−(y−(x2+y2)x)yx2+y2=−x2−y2x2+y2=−1 Уравнение на θ имеет вид
˙θ=−1.
Таким образом, двигаясь по траектории, точка приближается к началу координат, при этом её полярный угол равномерно уменьшается. Значит, эта траектория — спираль, наматывающаяся на особую точку, см. рис. 11.6.import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(6, 6))
ob.axes4x4(labels=("x", "y"), xmin=-1, xmax=1,
ymin=-1, ymax=1)
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 5 + 1)
r = 1
x = np.cos(theta) * r
y = np.sin(theta) * r
c = 1
ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array(
[-X[1] - c*X[0]*(X[0]**2 + X[1]**2),
X[0] - c*X[1]*(X[0]**2 + X[1]**2)]),
np.array([x, y]).T, t=(-0.09, 200), n=5000,
head_width=0.04, head_length=0.07, linewidth=1.5)
plt.plot([0], [0], marker='o', mew=2, lw=0, markersize=5,
markerfacecolor='white', markeredgecolor='steelblue')11.3Пример исследо��ания нелинейной особой точки
Рассмотрим систему{˙x=ln(x2/8+1/2)˙y=arctan(x+y+1)(11.8)
Найдём её особые точки. Приравнивая правые части к нулю, получаем такую систему:{ln(x2/8+1/2)=0arctan(x+y+1)=0(11.9)
Из первого уравнения мгновенно следует, что x=±2. Подставляя эти значения для x во второе уравнение находим y и видим, что у системы есть две особые точки: (2,−3) и (−2,1). Матрица Якоби имеет вид:⎛⎜⎝xx2/2+4011+(x+y+1)211+(x+y+1)2⎞⎟⎠(11.10)
Рассмотрим точку (2,−3). Подставляя её в матрицу Якоби, получаем матрицу линаризации:(1/3011)
Эта матрица нижнетреугольная и значит её собственные значения стоят на диагонали. Они равны 1/3 и 1. Следовательно соответствующая особая точка является неустойчивым узлом.Собственные векторы равны (−2,3) и (0,1). Первый из них имеет меньшее собственное значение, поэтому почти все траектории будут его касаться, стремясь к особой точке в обратном времени.
Вопрос 1. Какой тип имеет вторая особая точка? Тоже узел!А вот и нет
Это фокусНет, не фокус
Центр по линейным членамНет.
СедлоДа! Собственные значения −1/3 и 1. А фазовый портрет в целом выглядит вот так.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(6, 6))
ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
x = np.linspace(-4, 4)
y = np.linspace(-4, 4)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
plt.streamplot(x, y, np.log(X**2/8 + 0.5), np.arctan(Y+X+1))
plt.plot([-2, 2], [1, -3], marker='o', mew=2, lw=0,
markersize=5, markerfacecolor='white',
markeredgecolor='steelblue')11.4Выводы
Фазовые портреты нелинейных систем на плоскости можно исследовать, переходя к линеаризации. Для этого надо вычислить матрицу Якоби правой части системы в особой точке — она и будет матрицей линеаризованной системы. Если линеаризация имеет особую точку типа узел, фокус или седло, фазовый портрет исходной (нелинейной) системы в окрестности особой точки похож на фазовый портрет линеаризации. Для центров это неверно: центры по линейным членам могут выглядеть как фокусы. К особым точкам с вырожденной матрицей линеаризации этот метод неприменим.Дифференциальные уравнения на плоскости изучены относительно неплохо: хотя нахождение точных решенений конкретного уравнения может составлять сложную (или даже нерешенную) проблему, в целом человечество понимает, какие эффекты в этом мире встречаются и чего от таких уравнений можно ждать. Переход к пространствам больших размерностей принципиально усложняет динамику: мы далеки от полного понимания нелинейных уравнений уже с трёхмерным фазовым пространством. Однако линейные системы в любой размерности анализируются сравнительно несложно. Ими мы и займёмся в следующей главе.
Устойчивость положений равновесия
Важный вопрос, который можно задавать о дифференциальных уравнениях: насколько сильно поменяется решение, если мы чуть-чуть поменяем начальное условие? Для конечных промежутков времени на этот вопрос отвечает уравнение в вариациях (мы рассматривали его простейшую версию, когда обсуждали линейные уравнения первого порядка, см. параграф 9.1.1). Однако зачастую нас интересует, как устроено установившееся движение, то есть что происходит при t, стремящемся к бесконечности. Для анализа этого случая нужно ввести новые понятия. Чем мы и займёмся.13.1Интуитивное представление об устойчивости
В принципе, можно сформулировать понятие устойчивости применительно к любому решению, но мы сосредоточимся на положениях равновесия.Собственно, мы уже говорили о том, что положения равновесия (они же особые точки) дифференциального уравнения бывают устойчивыми или неустойчивыми, не вводя аккуратно соответствующие понятия. Напомним те примеры, для которых нам хватало интуиции, а потом сформулируем соответствующие определения аккуратно.
13.1.1Одномерное фазовое пространство
Рассмотрим уравнение˙x=x2−1(13.1)
Его фазовый портрет состоит из пяти фазовых кривых: двух особых точек 1 и −1, двух лучей (−∞,−1) и (1,∞) и интервала (−1,1). Направления движения вдоль фазовых кривых определяются знаком правой части: от точки 1 и к точке −1, см. рис. 13.1 и 13.2.import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.subplot2grid((6, 1), (0, 0), rowspan=5)
ob.axes4x4(labels=('x', '\dot x'), ymin=-2)
x = np.linspace(-4, 4)
plt.plot(x, x**2 - 1, '-', lw=2)
plt.plot([1, 1], [-2, 4], '--', color='gray', lw=2)
plt.plot([-1, -1], [-2, 4], '--', color='gray', lw=2)
plt.subplot2grid((6, 1), (5, 0))
plt.yticks([])
plt.xlim(-4, 4)
ob.onedim_phasecurves(-4, 4, [-1, 1], [-1, 1, -1], orientation='horizontal')import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.subplot2grid((1, 10), (0, 0))
plt.xlim(-0.5, 0.5)
plt.xticks([], [])
plt.ylim(-4, 4)
ob.onedim_phasecurves(-4, 4, [-1, 1], [1, -1, 1])
plt.subplot2grid((1, 10), (0, 1), colspan=8)
ob.axes4x4()
def f(t, x):
return x ** 2 - 1
for x0 in [1.0001, 1.001, 1.01, 1, 0.95, 0.99, 0.999, -1, -2, -4]:
ob.eulersplot(f, -4, 4, x0, color='steelblue')А вот точка 1 совсем другая: если начальное условие отклоняется от него (даже совсем чуть-чуть), всё равно решение со временем уйдёт достаточно далеко либо в положительном направлении (уйдёт на бесконечность), либо в отрицательном (притянется к точке −1). Эта точка является неустойчивой.
13.1.2Двумерное фазовое пространство
Давайте вспомним, какие особые точки на плоскости нам встречались. В главе 10 мы построили полную классификацию невырожденных линейных особых точек.import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
from itertools import product
def reset_plt():
plt.xlim(-3, 3)
plt.ylim(-3, 3)
plt.xticks([], [])
plt.yticks([], [])
def linfield(A, C, inits):
ob.phaseportrait(lambda X: C @ A @ np.linalg.inv(C) @ X,
inits=(C @ inits).T, t=(-2, 2), n=50, head_length=0.4,
head_width=0.2, linewidth=1)
plt.plot([0], [0], marker='o', mew=2, lw=0, markersize=5,
markerfacecolor='white', markeredgecolor='steelblue')
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.rcParams['font.family'] = 'Arial'
############# Unstable node #############
plt.subplot(231)
reset_plt()
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 3 + 1)
r = 1
u = np.cos(theta) * r
v = np.sin(theta) * r
inits = np.array([u, v])
C = np.array([[-3, 1], [1, 1]])
linfield(np.diag([1, 3]), C, inits)
plt.title("Неустойчивый узел")
############# Stable node #############
plt.subplot(234)
reset_plt()
linfield(np.diag([-1, -3]), C, inits)
plt.title("Устойчивый узел")
############# Unstable focus #############
plt.subplot(232)
reset_plt()
C = np.array([[1, 3], [2, -2]])
linfield(np.array([[1, 1], [-1, 1]]), C, 0.8 * inits)
plt.title("Неустойчивый фокус")
############# Stable focus #############
plt.subplot(235)
reset_plt()
linfield(np.array([[-1, 1], [-1, -1]]), C, 0.8 * inits)
plt.title("Устойчивый фокус")
############# Saddle #############
plt.subplot(233)
reset_plt()
C = np.array([[2, 1], [1, -1]])
inits = 0.5 * np.array(list(product(np.linspace(-10, 10, 6), [-1, 1]))
+ [[-1, 0], [1, 0], [0, 1], [0, -1]]).T
linfield(np.diag([-1, 1]), C, inits)
plt.title("Седло")
############# Center #############
plt.subplot(236)
reset_plt()
inits = 0.8 * np.array([[0, x] for x in range(-4, 5) if x != 0]).T
linfield(np.array([[0, 1], [-1, 0]]), C, 0.8 * inits)
plt.title("Центр")import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(6,6))
ob.axes4x4(labels=('\\theta', 'v'))
def H(theta, v):
return v**2 / 2 - np.cos(theta)
v_levels = np.linspace(0, 4, 17)
levels = []
for v in v_levels:
levels.append(H(0, v))
# levels = [H(0, v) for v in v_levels]
ob.mcontour(np.linspace(-5, 5, 300), np.linspace(-5, 5, 300),
H, levels=levels, colors='steelblue', linestyles='solid')
theta_inits = np.linspace(0, np.pi, len(v_levels))
v_inits = np.sqrt(2 * np.cos(theta_inits) + v_levels ** 2 - 2)
ob.phaseportrait(lambda X: np.array([X[1], -np.sin(X[0])]),
list(np.array([theta_inits, v_inits]).T)[4::4],
t = (0, 0.01), color='steelblue')
ob.phaseportrait(lambda X: np.array([X[1], -np.sin(X[0])]),
list(np.array([theta_inits, -v_inits]).T)[5::4],
t = (0, 0.01), color='steelblue')
ob.phaseportrait(lambda X: np.array([X[1], -np.sin(X[0])]),
list(np.array([-theta_inits, -v_inits]).T)[2::4],
t = (0, 0.01), color='steelblue')
ob.phaseportrait(lambda X: np.array([X[1], -np.sin(X[0])]),
list(np.array([-theta_inits, v_inits]).T)[3::4],
t = (0, 0.01), color='steelblue')Какие из особых точек, изображённых на рисунках 13.3 и 13.4, являются устойчивыми, а какие неустойчивыми? Проще всего разобраться с узлами и фокусами: это такие особые точки, что все траектории стремятся к ним либо в прямом времени (когда t→+∞), либо в обратном (t→−∞). Если все траектории стремятся к узлу (или фокусу) в прямом времени, то отклонившись немножко от этого положения равновесия мы со временем не только не уйдём от него далеко, но и будем неограниченно приближаться к нему. Мы уже раньше назвали такие особые точки устойчивым узлом и устойчивым фокусом (см. соответствующие картинки в нижнем ряду рис. 13.3) и было бы логично ожидать, что когда мы придумаем определение устойчивости, такие особые точки будут устойчивыми в соответствии с этим определением. Наоборот, если все траектории стремятся к положению равновесию в обратном времени, то в прямом времени они уходят от него. В этом случае, если мы чуть-чуть «промахнёмся» мимо особой точки, то попадём на одну из таких убегающих траекторий и уйдём достаточно далеко от особой точки. Это соответствует неустойчивому фокусу и узлу (верхний ряд на рис. 13.3).
Посмотрим теперь на седло. Большинство траекторий седла имеют форму гипербол: они проходят вблизи седла, но со временем отдаляются от него, приближаясь к отталкивающему собственному направлению. Они не стремятся к седлу ни в прямом, ни в обратном времени. Однако, так ведут себя не все траектории: среди них есть так называемые сепаратрисы, проходящие вдоль собственных направлений и стремящиеся к седлу в прямом или обратном времени.
Точки (±π,0) на фазовом портрете маятника похожи на седла (хотя они не являются линейными особыми точками). Они соответствуют положениям равновесия, при которых маятник направлен вертикально вверх и неподвижен. Понятно, что такое положение равновесия трудно назвать устойчивым: малейшее отклонение маятника от вертикали скорее всего приведёт к тому, что он придёт в движение и через какое-то время уйдёт далеко от вертикального положения равновесия. Логично ожидать, что такие положения равновесия (и вообще любые седловые особые точки) будут неустойчивыми с точки зрения любого разумного определения устойчивости.
Наконец, рассмотрим особые точки типа «центр». Они похожи на положения равновесия (0,0) для математического маятника. При этом маятник направлен вертикально вниз и неподвижен. Небольшое отклонение маятника от такого положения приведёт к тому, что он начнёт колебаться — на фазовом портрете это соответствует замкнутой траектории, похожей на окружность. Чем меньше исходное отклонение, тем меньше амплитуда колебаний. Устойчиво ли такое положение равновесия? Вроде бы, да.
Итак, устойчивый узел, устойчивый фокус и центр устойчивы, неустойчивый узел, неустойчивый центр и седло — неустойчивы. Остаётся придумать математическое определение устойчивости, которое бы не противоречило нашей интуиции.
13.2Придумываем определение устойчивости
Рассмотрим дифференциальное уравнение˙x=v(x).(13.2)
Пусть точка x∗ является положением равновесия, то есть v(x∗)=0. Пусть x=φ(t;x0) — решение этого уравнения с начальным условием φ(0;x0)=x0.Упражнение 1. Придумайте определение устойчивости особой точки x∗.
Это упражнение очень полезно сделать перед чтением последующего текста: даже если ваши попытки окажутся неудачными, они помогут глубже понять правильное определение устойчивости. На лекциях в этом месте мы всегда играем в такую игру: аудитория пытается придумать определение, а потом мы обсуждаем, почему оно оказывается неправильным. Вот пара примеров таких попыток.
Определение 1. (Неверное.) Особая точка x∗ называется устойчивой, если для любого начального условия x0, достаточно близкого к x∗, соответствующая траектория стремится к особой точке x∗. Иными словами, существует такое ε>0, что для всякого начального условия x0∈Uε(x∗) (здесь как обычно Uε(x∗) — это ε-окрестность точки x∗) выполняется следующее: limt→+∞φ(t;x0)=x∗. Вопрос 1. Почему это определение — не то, которое мы хотим? Узнать ответНапример, особая точка типа «центр» согласно такому определению является неустойчивой, а нам бы хотелось, чтобы она была устойчивой.
Определение 2. (Снова неверное.) Особая точка x∗ называется устойчивой, если для любого начального условия x0, достаточно близкого к x∗, соответствующая траектория не уходит от x∗ слишком далеко. Иными словами, существует такое ε>0, что для всякого начального условия x0∈Uε(x∗) выполняется следующее: ρ(φ(t,x0),x∗)≤M, где ρ(x,y) — расстояние (в какой-то метрике) между x и y, а M — какая-то константа.
Вопрос 2. Почему это определение тоже не подходит? Узнать ответРассмотрим уравнение на прямой ˙x=−x(x−1)(x+1). Точка 0 является особой, если x∈(0,1), то ˙x>0, а если x∈(−1,0), то ˙x<0. Отклонившись от точки 0 чуть-чуть мы начнём отклоняться от неё всё сильнее, однако не уйдём дальше точки 1 или −1, см. рис. 13.5. В то же время, сколь малым ни было бы наше отклонение от 0, траектория уйдёт от 0 достаточно далеко (на расстояние порядка 1). Поэтому точка 0 не должна быть устойчивой, а по предложенному определению была бы.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.subplot2grid((1, 10), (0, 0))
plt.xlim(-0.5, 0.5)
plt.xticks([], [])
plt.ylim(-4, 4)
plt.quiver([0, 0, 0, 0], [4, 0.1, -0.1, -4], [0, 0, 0, 0],
[-3 + 0.1, 1-0.2, -1 + 0.2, 3 - 0.1], angles='xy',
scale_units='xy', scale=1, units='inches',
width=0.03, color='Teal')
plt.plot([0, 0, 0], [1, -1, 0], color='Teal', marker='o',
fillstyle='none', mew=5, lw=0, markersize=2)
plt.subplot2grid((1, 10), (0, 1), colspan=8)
ob.axes4x4()
def f(t, x):
return -x ** 3 + x
for x0 in [0, 1, -1, 0.001, -0.001, 0.01,
-0.01, 0.1, -0.1, 4, -4]:
ob.eulersplot(f, -4, 4, x0, color='steelblue')Определение 3. (Опять неверное!) Особая точка x∗ называется устойчивой, если существует такое ε>0, что любая траектория, стартующая в ε-окрестности точки x∗, не покидает эту окрестность. Иными словами, для всякого начального условия x0∈Uε(x∗) выполняется следующее: φ(t,x0)∈Uε(x∗).
Вопрос 3. Почему и это определение не подходит? Узнать ответРассмотрим особую точку типа «центр», но пусть фазовые кривые являются не окружностями, а вытянутыми по горизонтали эллипсами, см. рис. 13.6. Нарисуем какую-нибудь окрестность точки (0,0): для стандартной метрики она будет иметь форму круга. Траектории, стартующие вблизи верхней точки этого круга покидают эту окрестность из-за вытянутости эллипсов. Таким образом, данная особая точка была бы неустойчивой по нашему «определению», вопреки ранее принятым решениям.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(6,6))
ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array([-2*X[1], 0.5*X[0]]),
[[0.7, 0.7], [1.4, 1.4]])
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi)
plt.plot(np.cos(theta), np.sin(theta), color='black')Ну что же, дадим, наконец, и верное определение.
Определение 4. (Теперь верное.) Особая точка x∗ называется устойчивой по Ляпунову, если для всякого ε>0 найдётся такое δ>0, что для всякого начального условия x0∈Uδ(x∗), решение с этим начальным условием не покинет ε-окрестность точки x∗ (то есть для всякого t>0, φ(t,x0)∈Uε(x∗)).Это определение похоже на определение предела: строго говоря, это определение равномерного предела семейства функций. Его можно понимать так: для всякой целевой окрестности можно выбрать окрестность поменьше, такую, что все траектории, стартующие в этой маленькой окрестности, не покинут целевую. Условие о том, что рассматриваются только значения t>0, очень важное — нас интересует, что происходит в прямом времени (при t→+∞), а не в обратном.
13.3Используем определение устойчивости по Ляпунову
Проверим, что для тех точек, которые мы обсуждали, определение устойчивости по Ляпунову согласуется с нашими интуитивными представлениями.13.3.1Устойчивый узел
Сначала рассмотрим устойчивый линейный узел. Перейдём в нормализующие координаты (соответствующие собственному базису). Система примет вид˙x=−λx˙y=−μy,
где λ>0 и μ>0. В любой момент времени обе координаты убывают по модулю, следовательно, убывает и расстояние до нуля. Значит в определении устойчивости для всякого ε можно положить δ=ε: любая траектория, стартующая в ε-окрестности нуля, не покидает эту ε-окрестность.import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(6, 6))
ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
def linfield(A, C, inits):
ob.phaseportrait(lambda X, t=0: C @ A @ np.linalg.inv(C) @ X,
(C @ inits).T, t=(-2, 2), n=50, head_length=0.3,
head_width=0.15, linewidth=1)
plt.plot([0], [0], marker='o', mew=2, lw=0, markersize=5,
markerfacecolor='white', markeredgecolor='steelblue')
C = np.array([[1, 0], [0, 1]])
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 3 + 1)
r = 3
u = np.cos(theta) * r
v = np.sin(theta) * r
inits = np.array([u, v])
linfield(np.diag([-1, -3]), C, inits)
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 101)
plt.plot(np.cos(theta), np.sin(theta))13.3.2Центры
Рассмотрим далее особую точку типа «центр». Её траекториями могут быть достаточно вытянутые эллипсы: точка, движущаяся вдоль такой траектории может как приближаться, так и удаляться от начала координат.import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.figure(figsize=(6,6))
ob.axes4x4(labels=('x','y'))
ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array([7.0*X[0]-9.0*X[1], 9*X[0]-7.0*X[1]]),
[[x,-x] for x in np.linspace(0,20,20)/3], [-2,2], n=150,
head_length=0.3, head_width=0.15, linewidth=1)
circ = lambda x, y: y**2/2 + x**2/2
data = [(4, 'black'), (1, 'red'), (.2, 'purple')]
for level, color in data:
ob.mcontour(np.linspace(-5,5,300), np.linspace(-5,5,300), circ,
levels=[level], linewidths=2, colors=color)13.3.3Седло
Рассмотрим теперь особую точку вида седло:import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
def linfield(A, C, inits):
ob.phaseportrait(lambda X, t=0: C @ A @ np.linalg.inv(C) @ X,
(C @ inits).T, t=(-2, 2), n=50, head_length=0.4,
head_width=0.2, linewidth=1)
plt.plot([0], [0], marker='o', mew=2, lw=0, markersize=5,
markerfacecolor='white', markeredgecolor='steelblue')
from itertools import product
plt.figure(figsize=(6,6))
ob.axes4x4(labels=('x','y'))
C = np.array([[2, 1], [1, -1]])
inits = 0.5 * np.array(list(product(np.linspace(-10, 10, 6), [-1, 1]))
+ [[-1, 0], [1, 0], [0, 1], [0, -1]]).T
linfield(np.diag([-1, 1]), C, inits)
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi)
plt.plot(3 * np.cos(theta), 3 * np.sin(theta), color='black', lw=2)13.4Асимптотическая устойчивость
Когда мы обсуждали вопрос об «интуитивной» устойчивости линейных особых точек, у нас не возникло никаких сомнений по поводу узлов, фокусов и сёдел. С центрами всё не так однозначно. С одной стороны, траектории, близкие к особой точке, не уходят слишком далеко, и это вроде бы соответствует нашим представлениям об устойчивости и согласуется с определением устойчивости по Ляпунову. С другой стороны, нам может потребоваться более сильное условие: чтобы со временем траектория не просто не уходила далеко от особой точки, но и приближалась к ней. Это условие даёт нам определение асимптотической устойчивости. Определение 5. Особая точка x∗ называется асимптотически устойчивой, если она устойчива по Ляпунову и существует такое δ>0, что для всякого начального условия x0∈Uδ(x∗) верно следующее: limt→+∞φ(t,x0)=x∗.Заметим, что определение 5 очень похоже на неверное определение 1: разница состоит в том, что в определение асимптотической устойчивости явно входит требование устойчивости по Ляпунову. Может быть, достаточно только условия на предел? Оказывается, нет: можно построить пример системы, у которой имеется такая особая точка, что любая траектория, стартующая вблизи этой точки, возвращается к ней, но при этом может уйти достаточно далеко — и таким образом особая точка не является устойчивой по Ляпунову.
Упражнение 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение, в полярных координатах задающееся следующим образом:˙φ=sin(φ)+1,˙r=r(1−r).
- Построить фазовый портрет в координатах (r,φ) и (x,y).
- Что можно сказать о поведении решений при t→+∞?
- Является ли положение равновесия (r=1,φ=0) асимптотически устойчивым?
- Устойчивым по Ляпунову?
13.5Теорема об устойчивости по первому приближению
Доказывать устойчивость особой точки, пользуясь только определением, обычно не очень просто. К счастью, существует теорема, которая сильно упрощает решение задач такого типа. Теорема 1. (Ляпунова, об устойчивости по первому приближению.)Для особой точки x∗ системы дифференциальных уравнений (13.2) рассмотрим матрицу Якоби:
A=∂v∂x∣∣∣x=x∗.
Пусть собственные значения матрицы A равны λ1,…,λn.- Если все собственные значения имеют отрицательные вещественные части, то есть для всех i=1,…,n, Re(λi)<0 то особая точка асимптотически устойчива.
- Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то есть найдётся такое i, что Re(λi)>0, то особая точка не является устойчивой по Ляпунову.
Между двумя утверждениями теоремы есть «зазор»: бывают такие особые точки, про устойчивость которых теорема не говорит ничего.
Вопрос 4. Что вы можете сказать о собственных значениях особых точек, для которых теорема об устойчивости не говорит ничего? Узнать ответЭто особые точки, у которых есть собственные значения, лежащие на мнимой оси, то есть имеющие нулевую вещественную часть, а также, быть может, есть какое-то количество собственных значений с отрицательной вещественной частью.
Полное доказательство этой теоремы довольно сложное и мы не будем здесь его приводить. Рассмотрим лишь случай линейных уравнений; после этого поверить в общий случай можно будет легко, зная, что поведение нелинейных уравнений похоже на поведение соответствующих линейных.
Доказательство. (Набросок доказательства для линейных уравнений)Начнём со второй части. Если есть хотя бы одно собственное значение λj с положительной вещественной частью, ему соответствует некоторый собственный вектор v и у уравнения есть решение вида ceλjtv. Если Reλj>0, экспонента возрастает при t→+∞, и существует далеко уходящее решение со сколь угодно близким к началу координат начальным условием (параметр c можно делать сколь угодно маленьким). Значит, особая точка не является устойчивой по Ляпунову.
Докажем теперь первую часть. Если все собственные числа имеют отрицательную вещественную часть, и матрица диагонализируема, вдоль всех направлений идёт приближение к нулю, и особая точка асимптотически устойчива.
Доказательство для жордановой клетки более сложное. Рассмотрим уравнение x=Jλx, где Jλ — жорданова клетка с собственным значением λ, причём Reλ<0. Рассмотрим для простоты случай вещественного λ, то е��ть λ<0. (Случай комплексного λ рассматривается аналогично, но с некоторыми техническими усложнениями.)
Идея состоит в том, чтобы доказать, что траектория, войдя в произвольный круг радиуса ε, никогда из него не выйдет. Чтобы это утверждение стало верным, нужно выбрать правильную систему координат. (В исходной системе координат вместо кругов нужно брать эллипсы.)
Заметим, что выбором координат можно единички в жордановой форме заменить на произвольное число μ. Действительно, рассмотрим такую диагональную матрицу перехода:
C=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝100⋯00μ0⋯000μ2⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯μn−1⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠
Прямое вычисление показывает, чтоC−1JλC=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝λμ0⋯000λμ⋯0000λ⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯λμ000⋯0λ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠
В дальнейшем мы будем работать в новой системе координат. Число μ подберем позднее.Теперь рассмотрим функцию ρ(x)=∥x∥2=x21+…+x2n. Мы хотим доказать, что Lvρ(x)<0 для всех x≠0, то есть производная вдоль векторного поля от функции ρ везде отрицательна (кроме нуля). Это будет означать, что в любой момент времени расстояние до начала координат уменьшается. Имеем:
Lvρ=n∑k=1∂ρ∂xkvk=n−1∑k=12xk(λxk+μxk+1)+2λx2n=λn∑k=1x2k+μn−1∑k=1xkxk+1.
Первое слагаемое является отрицательным, поскольку λ<0. Мы хотим подобрать такое маленькое μ, чтобы второе слагаемое по модулю было меньше первого. Это всегда можно сделать, посколькуxkxk+1≤12(x2k+x2k+1)<n∑k=1x2k
Выбирая μ=1nλ, получаем требуемое.∎Узел устойчивый (неустойчивый) — Энциклопедия по машиностроению XXL
Негиперболические циклы. Исследуем гомоклинические траектории негиперболических циклов. В однопараметрических семействах общего положения могут встречаться негиперболические циклы, имеющие один мультипликатор 1 или —1 или пару невещественных мультипликаторов е » . Если остальные мультипликаторы лежат внутри (вне) единичной окружности, то будем говорить, что такой цикл — типа устойчивый (неустойчивый) узел по гиперболическим переменным. В противном случае цикл — типа седло по гиперболическим переменным. Аналогичные определения даются для неподвижной или периодической точки диффеоморфизма. Опишем устойчивые и неустойчивые множества негиперболических циклов, предполагая, что выполнены требования общности положения из 1 главы 2. [c.90]Пусть цикл векторного поля имеет мультипликатор 1 и является седлом по гиперболическим переменным. Тогда ограничение поля на центрально устойчивое (це трально неустойчивое) многообразие имеет цикл типа устойчивый (неустойчивый) узел по гиперболическим переменным. На многообразиях и можно определить, как и выше, сильно устойчивое и сильно неустойчивое слоения, обозначаемые через и [c.116]
| Рис. 17.17. Особые точки на фазовой плоскости а) центр, б) седло в) фокус (устойчивый). г) фокус (неустойчивый) д) узел (устойчивый) е) узел (неустойчивый) ж, э) изолированные циклы (устойчивый и неустойчивый). Об устойчивости и неустойчивости см. ниже. |  |
В тех случаях, когда фазовые траектории являются кривыми параболического типа и изображающие точки с течением времени также неограниченно приближаются к началу координат, такая особая точка называется устойчивым узлом. В этом случае в системе происходят устойчивые апериодические процессы (рис. 5). В противном случае узел будет неустойчивым (рис. 6). [c.23]
Особая точка — вырожденный узел, устойчивый или неустойчивый в зависимости от знака Ло (рис. 19.1). [c.168]
В точке S всегда седло (корни имеют разные знаки). В точке К при Я == О — всегда центр, при О >2 —узел (устойчивый при Я>0 и неустойчивый при Я[c.122]
Состояния равновесия и их бифуркации. Возможны одно или три грубых состояния равновесия. В случае одного состояния равновесия имеем фокус (узел), устойчивый, если в точке пересечения изоклин выполняется условие ф (а )> —1, и неустойчивый в противоположном случае. В случае трех состояний равновесия между фокусами (узлами) лежит седло. [c.293]
Еслп для некоторых аппроксимаций седло-узел возникает внутри цикла, а для других вне его, то по непрерывности должна существовать и такая характеристика, для которой седло-узел возникает на предельном цикле. Но седло-узел с неустойчивой узловой областью не может возникнуть на устойчивом предельном цикле (гл. 11). [c.297]
Абсцисса общей точки Д и о, т. е. х, больше абсциссы максимума кривой Д. Расположение линий Д и о на плоскости [х, Уо) показано на рис. 170, в, а соответствующее расположение на плоскости (xq, у о)—на рис. 171, s. При дальнейшем увеличении может быть еще одна возможность, при которой состояние равновесия с меньшей абсциссой устойчиво, а с большей — неустойчиво. Мы предоставляем читателю проследить возникновение такой возможности на плоскости х, уо) и соответствующую картину на плоскости хо, i/o). На рис. 171 в области 1 у системы (1)—единственное состояние равновесия, узел или фокус, в области 2 —три состояния равновесия, оба узла или фокуса устойчивы, в области 3 — фокус или узел с меньшей абсциссой неустойчив, фокус или узел с большей абсциссой устойчив, в области 4 — единственное состояние равновесия неустойчиво, в области 5 — три состояния равновесия, два неустойчивых узла или фокуса. Как уже указывалось, возможен еще случай, когда левое состояние равновесия — устойчивый фокус или узел, правое — неустойчивый. [c.331]
Итак, одним только изменением величины А, характеризующей сопротивление системы (от больших положительных до больших отрицательных /г), можно перевести систему последовательно через пять различных областей, соответствующих различным типам движений и состояний равновесия, а именно устойчивый узел, устойчивый фокус, центр, неустойчивый фокус и неустойчивый узел. В следующем параграфе мы познакомимся еще с одним типом состояний [c.91]
Следует отметить, что индекс не учитывает направления движения по фазовым траекториям например, устойчивый узел и неустойчивый узел имеют один и тот же индекс + 1. [c.341]
Д О, — 4Д 0. Корни характеристического уравнения действительные и одинаковых знаков. Состояние равновесия — узел (устойчивый или неустойчивый в зависимости от знака а). [c.432]
I. Три собственных числа действительны и отличны. Решение в этом случае имеет вид ы = с,е , у = о) = езе 5 . Получаем седловой узел с неустойчивым и устойчивым плоским узлом (рис. 3.11, с, б). Если Д>0, Тзз0, то имеем неустойчивый плоский узел, если тзз0, А>0, то устойчивый плоский узел. [c.170]
Устойчивый узел (фокус) Неустойчивый узел (фокус) [c.138]
Р,(0.0) Устойчивый узел (фокус) Неустойчивый узел (фокус) Седло Седло [c.352]
Оо > 2 0 йо > 0 di = 0 Неустойчивый узел Седло Устойчивый узел Нет [c.185]
Неустойчивый узел Седло Устойчивый узел Нет [c.185]
Вырожденные семейства, найденные численно. Названные семейства соответствуют объединению трех линий, показанных пунктиром на рис. 26. Если А принадлежит линии 1 или 2, то одно из уравнений семейства (11а) имеет сложный цикл (сепаратрисный многоугольник) с четырьмя особыми точками типа седло-узел, причем центральное многообразие одной особой точки является устойчивым (или неустойчивым) многообразием другой (рис. 27а,б). Если А принадлежит кривой 3, то одно из уравнений семейства (Па) имеет сложный цикл с че- [c.64]
Если все не лежащие на мнимой оси собственные значения матрицы линейной части векторного поля в особой точке находятся в правой (левой) полуплоскости, то скажем, что особая точка — неустойчивый (устойчивый) узел по гиперболическим переменным. В противном случае особая точка называется седлом по гиперболическим переменным. [c.89]
Под сепаратрисой положения равновесия типа седло-узел подразумевается здесь часть центрального многообразия, не принадлежащая двумерному устойчивому или неустойчивому множеству другими словами, общая граница двух гиперболических секторов. [c.101]
Критические и некритические циклы. Пусть гладкое векторное поле имеет предельный цикл с мультипликатором единица типа устойчивый узел по гиперболическим переменным . Тогда некоторая окрестность цикла наделена гладким слоением со слоями коразмерности 1, инвариантным относительно потока и сильно устойчивым каждый слой экспоненциально сжимается при сдвиге вдоль траекторий поля за положительное время [162], [180]. Один из слоев совпадает с устойчивым многообразием цикла. Аналогично описывается сильно неустойчивое слоение в случае неустойчивого узла по гиперболическим переменным. [c.116]
Узел устойчивый (неустойчивый) 52, 56, 62 Ультра-, ультрасубгармонические колебания 267 [c.391]
РАВНОВЕСИЯ СОСТОЯНИЕ динамической системы — состояние динамической система, к-рое не изменяется во времени. Р. с. может быть устойчивым, неустойчивым и безразлично-устойчивым. Движение системы вблизи равновесия (при малом от него отклонении) существенно различается в зависимости от характера (типа) Р. с. В случае систем с одной степенью свободы, если Р. с. устойчиво, то при малом возмущении (отклонении) система возвращается к нему, совершая затухающие колебания (на фазовой плоскости такому движению соответствует устойчивый фокус — рис. 1, а) или двигаясь апериодически (устойчивый узел — рис, 2, а). Вблизи неустойчивого Р. с, малые отклонения системы нарастают, при этом система совершает колебания (неустойчивый фокус — рис, 1, 6) или движется апериодически (неустойчивый узел — [c.196]
Если а(А,) > О, то в точке (.4 ,0) — устойчивый узел либо устойчивый фокус если (т(/1 )неустойчивый узел либо неустойчивый фокус. При период незатухающих колебаний равен г = 2л-/л/а, А = )) следовательно, А р . Укажем условия реализации незатухающего колебательного процесса из уравнения (т(А ) = О определяем ЕсРг число Пекле находим из формулы [c.115]
Структура разбиения фазового пространства на граничной кривой, разделяющей области двух и четырех точек. Точкам на кривой 4 а —4А/11+1 = 0 (11>1/2) соответствует фазовое пространство с особой точкой седло-узел, возникшей от слияния точек Оз и О4. При х = Цо совпадают направления, по которым траектории могут идти в особую точку, и седло-узел становится вырожденным. При переходе через значение л = хо седло-узел с неустойчивой узловой областью (и седло-узел с устойчивой узловой областью ( х>ц,о). Для малых х сепаратриса седла 0 накручивается на предельный цикл, охватывающий цилиндр ш-сепаратриса седло-узла для больпшх х имеет всюду отрицательный наклон и, следовательно, предельных циклов нет. При возрастании х вдоль кривой 4[х — 4цА + + 1=0, Ц, > 1/2, последовательность качественных картин, переходящих одна в другую, будет такая же, как на рис. 168. [c.438]
На рис. 16.7 дан фазовый портрет укороченной системы при = ( точный резонанс ). В согласии с рис. 16.1 здесь три состояния равно весия. Их типы (при устойчивый узел, седло неустойчивый узел. Сепаратрисы седла выделены жирными линиям Картина симметрична относительно оси ординат. При большой расстройк симметрия пропадает, состояния равновесия несколько смещаются, н топологическая структура фазового портрета остается прежней (рис. 16.8 [c.297]
Таким образом, если Xi Хг > О, мы имеем неустойчивый узел-, в этом случае в то>Ёку О входят отрицательные полухарактеристики. [c.366]
И все положительные полухарактеристики входят в точку О. Эта точка снова оказывается устойчивым узлом, но на этот раз, в отличие от случая 1а), положительные полухарактеристики входят в точку О по всевозможным направлениям (рис. 76). Если Xi > О, то получаем неустойчивый узел. Особенность этого типа редко встречается в практических задачах. [c.366]
Узел устойчивый — Энциклопедия по машиностроению XXL
| Рис. 17.17. Особые точки на фазовой плоскости а) центр, б) седло в) фокус (устойчивый). г) фокус (неустойчивый) д) узел (устойчивый) е) узел (неустойчивый) ж, э) изолированные циклы (устойчивый и неустойчивый). Об устойчивости и неустойчивости см. ниже. | |
При о О — неустойчивый. Фазовый портрет узла показан на рис. 2, а. [c.35]
Особая точка — вырожденный узел, устойчивый или неустойчивый в зависимости от знака Ло (рис. 19.1). [c.168]
В точке S всегда седло (корни имеют разные знаки). В точке К при Я == О — всегда центр, при О >2 —узел (устойчивый при Я>0 и неустойчивый при Я[c.122]
Состояния равновесия и их бифуркации. Возможны одно или три грубых состояния равновесия. В случае одного состояния равновесия имеем фокус (узел), устойчивый, если в точке пересечения изоклин выполняется условие ф (а )> —1, и неустойчивый в противоположном случае. В случае трех состояний равновесия между фокусами (узлами) лежит седло. [c.293]
Итак, одним только изменением величины А, характеризующей сопротивление системы (от больших положительных до больших отрицательных /г), можно перевести систему последовательно через пять различных областей, соответствующих различным типам движений и состояний равновесия, а именно устойчивый узел, устойчивый фокус, центр, неустойчивый фокус и неустойчивый узел. В следующем параграфе мы познакомимся еще с одним типом состояний [c.91]
Д О, — 4Д 0. Корни характеристического уравнения действительные и одинаковых знаков. Состояние равновесия — узел (устойчивый или неустойчивый в зависимости от знака а). [c.432]
ДУ Устойчивый узел Устойчивый узел [c.361]
С = fg Д имеются три особые точки одна — устойчивый узел, вторая — седло и третья (х = О, = 0) — существенно особая точка. [c.142]
При tg Л особые точки. При = и С = устойчивый узел и седло сливаются в одно состояние равновесия. Точка X = О, у = О остается. [c.142]
Седло Нет Устойчивый узел Нет [c.174]
Y>d i>0 Седло Нет Устойчивый узел Нет [c.185]
Оо > 2 0 йо > 0 di = 0 Неустойчивый узел Седло Устойчивый узел Нет [c.185]
НеустойчИ вый узел Устойчивый узел Устойчивый узел Сед- ло [c.185]
Критерием нагрузочной способности термопластичных подшипников является определенный уровень температуры их рабочей поверхности. В начале испытаний температура рабочих поверхностей опытного узла в течение нескольких минут достигала максимального для данного режима и условий работы значения. Если эта температура была меньше критического уровня для данного типа ТПС, то узел устойчиво работал при этих режимах. Если рабочая температура превышала этот уровень, то узел работал ненадежно. В этом случае возможны оплавление и выход подшипника из строя, механизм которого заклю- [c.83]
Узел устойчивый (неустойчивый) 52, 56, 62 Ультра-, ультрасубгармонические колебания 267 [c.391]
На рис. 412, а показан узел конической передачи с обычной консольной установкой зубчатого колеса. В конструкции б при.менена двухопорная установка. Один конец вала ведущего колеса установлен в стенке корпуса, другой — в отъемной крышке 1 с окном на участке зацепления зубьев. Габариты передачи существенно сокращены, устойчивость колес улучшена. [c.569]
Учебное пособие по созданию узлов из овчины, шаг за шагом
Узел овчинный
Узел из овчины в основном используется для временного сокращения длины веревки. Не будучи прочным узлом, он разваливается при слишком большой или слишком малой нагрузке. Следовательно, этого следует избегать. Книга узлов Эшли предостерегает от его использования и советует захватывать или закреплять концы, чтобы обезопасить его, за исключением случаев, когда необходимость носит временный характер.
Как завязать овчинный узел
Как завязать овчинный узел
Варианты
- Узел камикадзе — Это небольшое изменение создается путем сращивания середины узла из овчины.
- Овчинка с зацепами из мраморного шипа — самый безопасный вариант, когда для завязывания используются скользящие узлы вместо половинных зацепов.
- Овчина-овчарка — Также известный как узел для стула пожарного, это узел из овчины с узлом для наручников в центре.
Преимущества | Недостатки |
|
|
Использует
- Для крепления грузов к прицепам или грузовикам.
- В плавании.
Альтернатива
Узел «Альпийская бабочка» — надежно укорачивает веревку, являясь отличным узлом средней линии.
.День 1: Галстук в одну колонку
Большинство стяжек начинаются с стяжки в один столбец, это первый якорь к телу. Связка в один столбик — это петля, которая не затягивается, когда мы натягиваем хвост. «Колонна» означает все, что вы можете обвязать: ногу, туловище, стойку кровати и т. Д.
Начнем с дуги Somerville, одной из многих разновидностей стяжки с одной колонной. Рекомендуется очень хорошо знать один узел и освоить его, прежде чем изучать больше.Если у вас уже есть другой узел, попробуйте тот, который вы знаете, и сохраните лук Somerville на потом.
На 28 неделе мы изучим различные связи одного столбца, чтобы понять различия.
Somerville Bowline
Bowline Somerville — очень прочный узел, который можно очень быстро завязать, если немного потренироваться. Поначалу может быть немного сложно научиться этому, не торопитесь, чтобы визуализировать различные шаги, и вы быстро освоите это.
Как и любой другой узел, у боулинга Sommerville есть свои плюсы и минусы.Самым большим преимуществом является стабильность узла, он будет оставаться на месте при вытягивании в любом направлении и вряд ли может быть развязан случайно. Его также можно использовать с любым типом веревки. Этот узел можно развязать с бухты, не развязывая хвост, что отлично в случае крайней необходимости. Если вы хотите сделать его более надежным, протяните хвост через бухту, и он полностью заблокирует узел. Приятно иметь возможность оставить его открытым, чтобы отвязать его с обоих концов или сделать неизбежным.
Основным недостатком является то, что при большом давлении узел может уплотняться и его трудно развязать, особенно когда хвост находится в напряжении. В экстренных случаях вы всегда можете воспользоваться безопасным режущим устройством, если вам трудно развязать узел.
Время практики!
Повторение — это ключ к тому, чтобы запечатлеть связь в вашей мышечной памяти. Попробуйте много раз и измените все, чтобы было интересно.
Контрольный список для самооценки:
- Все веревки в бинте имеют одинаковое натяжение и ровно лежат на теле.
- Зазор между двумя пальцами внутри манжеты, не слишком туго и не слишком свободно.
- Никаких лишних скручиваний в узле.
- Узел уплотнен и затянут.
- Когда вы тянете за бугорок или хвост, конструкция остается нетронутой.
Идеи разведки:
- Завяжите с закрытыми глазами.
- Explore с разным количеством обертываний (одна упаковка, три обертывания, много-много обертываний).
- Различная длина бухты. (насколько коротким можно его сделать?)
- Привяжите к вертикальной стойке (гравитационное испытание).
- Завяжите его за спиной.
- Свяжите одной рукой.
- Свяжите три стяжки на одном столбце в неожиданных местах.
- Попробуйте связать с не доминирующей рукой (левая против правой).
Покажите кому-нибудь, как это связать.
Связь: как вам это нравится? — sansblague Найдите минутку, чтобы просто почувствовать ощущения от веревки, не делая с ними ничего. Затем изучите, что вы можете сделать, чтобы веревки заканчивались там, где вам удобнее всего, с помощью небольших покачиваний.Можете ли вы покачиваться, не разрушив якорный узел? Затем найдите момент, когда вы попытаетесь освободить себя. Когда вас связывают, вы можете выбирать разные подходы к тому, чтобы быть привязанными, в зависимости от ситуации, в которой вы находитесь, и вашей динамики с человеком, который вас связывает. Узнайте, что вам нравится больше всего. |
Вдохновение и ресурсы
Кредит: Сомервилльский лук, сделанный топологом — Фотографии — М / Р: Эби МакКнотти P: AlexK7
Или вернитесь в «Фонды», чтобы узнать о дополнительных возможностях.
Поделитесь этой страницей!
.надежных узлов от NetKnots | Как связать правильные узлы
Уже более 26 лет NetKnots предоставляет полезную информацию о рыболовных узлах и узлах веревки с простыми пошаговыми иллюстрациями и анимациями для завязывания более 180 самых популярных и наиболее полезных узлов. Мы постоянно обновляем сайт новыми дополнениями и новыми уроками по завязыванию узлов, так что добавьте нас в закладки и почаще проверяйте! Рыболовные узлы раздел содержит самых популярных рыболовных узлов в Интернете , и они четко отображаются в разделах по типу для петель или узлов лески и оконечных снастей, а также как выбор для начинающих, нахлыстом, соленой водой , даже Тенкара!
Раздел Rope Knots включает в себя удобный выбор кемпинговых узлов и узлов для катания на лодках, скалолазания, лесоводства, поиска и спасения, выживания и других занятий на открытом воздухе.
Все наши узлы наглядно проиллюстрированы пошаговыми инструкциями и анимированы, чтобы вы могли сесть и посмотреть. Вы можете приостановить и перемотать анимацию, пока будете практиковаться в завязывании. Это делает обучение легким и увлекательным! Новые дополнения к сайту включают раздел моды для галстуков , шарфов и даже складок нагрудного платка.
А если вы рыбак или женщина, не пропустите наш новый раздел Fly Tying ! У нас есть видеоролики с инструкциями по вязанию мушек от некоторых из самых известных производителей вязки мушек, таких как поздний, великий Shane Stalcup и некоторые супер-схемы ловли рыбы.
Как отметил знаменитый эксперт по завязыванию узлов Клиффорд Эшли в своей 620-страничной статье « The Ashley Book of Knots », «узел никогда не бывает« почти правильным », он либо точно правильный, либо безнадежно неправильный». Распространенная фраза в сообществах, связывающих узлы, таких как Международная гильдия узлов Тайерс, заключается в том, что лучше знать узел и не нуждаться в нем, чем нуждаться в узле и не знать его! Поэтому при использовании этого ресурса помните, что важнее выучить несколько узлов.
чем наполовину выучить все узлы.Спасибо за то, что сделали нас ведущим интернет-ресурсом уже более двадцати пяти лет — Наслаждайтесь!