Золотое сечение это кратко и понятно: Золотое сечение что это такое в кратце, пропорция в архитектуре

Содержание

Золотое сечение — что это такое? Числа Фибоначчи — это?

Автор Алёна Краева На чтение 3 мин. Опубликовано 23.10.2017

Здравствуйте, дорогие читатели!

Золотое сечение — что это такое? Числа Фибоначчи — это? В статье — ответы на эти вопросы кратно и понятно, простыми словами.

Эти вопросы вот уже несколько тысячелетий будоражат умы всё новых и новых поколений! Оказывается математика может быть не скучной, а захватывающей, интересной, завораживающей!

Другие полезные статьи:

Числа Фибоначчи — это что?

Поразителен тот факт, что при делении каждого последующего числа числовой последовательности на предыдущее получается число, стремящееся к 1,618.

Обнаружил эту загадочную последовательность счастливчик математик средневековья Леонардо Пизанский (более известный под именем Фибоначчи). До него Леонардо да Винчи обнаружил в строении тела человека, растений и животных удивительным образом повторяющуюся пропорцию Фи = 1,618. Это число (1,61) ученые еще называют «Числом Бога».

До Леонардо да Винчи эта последовательность чисел была известна в Древней Индии и Древнем Египте. Египетские пирамиды построены с применением пропорции Фи = 1,618.

Но и это еще не все, оказывается законы природы Земли и Космоса каким-то необъяснимым образом подчиняются строгим математическим законам последовательности чисел Фидоначчи.

Например, и ракушка на Земле, и галактика в Космосе построены с применением чисел Фибоначчи. Абсолютное большинство цветов имеет 5, 8, 13 лепестков. В подсолнухе, на стеблях растений, в закрученных вихрях облаков, в водоворотах и даже в графиках изменения курсов валют на Форексе, всюду работают числа Фибоначчи.

Посмотрите простое и занимательное пояснение, что такое последовательность чисел Фибоначчи и Золотое сечение в этом КОРОТКОМ ВИДЕО (6 минут):
Что такое Золотое сечение или Божественная пропорция?
Итак, что такое Золотое сечение или Золотая или Божественная пропорция? Фибоначчи также обнаружил, что последовательность, которая состоит из квадратов чисел Фибоначчи является еще большей загадкой. Попробуем графически изобразить в виде площади последовательность:
1², 2², 3², 5², 8²…
Если вписать спираль в графическое изображение последовательности квадратов чисел Фибоначчи, то мы получим Золотое сечение, по правилам которого построено все во вселенной, включая растения, животных, спираль ДНК, человеческое тело, … Список этот можно продолжать до бесконечности.
Золотое сечение и Числа Фибоначчи в природе ВИДЕО
Предлагаю посмотреть короткий фильм (7 минут), в котором раскрываются некоторые загадки Золотого сечения. При размышлениях о законе чисел Фибоначчи, как о первостепенном законе, который управляет живой и неживой природой, появляется вопрос: Эта идеальная формула для макромира и микромира возникла сама или ее кто-то создал и удачно применил?
Что ВЫ думаете по этому поводу? Давайте вместе подумаем над этой загадкой и быть может мы приблизимся к .
Очень надеюсь, что статья была полезной для Вас и Вы узнали, что это такое Золотое сечение *и Числа Фибоначчи? До новых встреч на страницах блога, подписывайтесь на блог. Форма подписки — под статьей.
Не могу не поделиться с Вами коротким документальным фильмом — ученые обнаружили загадочную связь между кодом ДНК и числом Бога.
Всем желаю много новых идей и вдохновения для их реализации!
SMARTБЛОГ

Реферат золотое сечение — Автореферат диссертации

ГОУ Гимназия №1505

«Московская городская педагогическая гимназия-лаборатория»

Реферат

Золотое сечение

Выполнила

ученица 9 класса «А» Павлова Анна

Руководитель

Илларионова Т.И.

Москва

2011

Введение

Я люблю гулять по центру Москвы, где стоит множество старинных зданий с украшением в виде геометрических фигур содержащих золотое сечение. Они приковывают взгляд человека и заставляют восхищаться своей красотой. Мне стало интересно заглянуть за рамки учебника по геометрии, и посмотреть о роли золотого сечения в культурной сфере жизни.

Золотое сечение (или пропорция Фидия), по мнению многих исследователей, является наиболее приятной для человеческого глаза. Этим можно объяснить ее многогранное применение человеком, например такие сферы как архитектура, живопись, фотография и ландшафтный дизайн широко используют эту пропорцию и связанные с ней свойства. Это пропорция была в почете у умнейших людей, таких как Леонардо Да Винчи и Ле Корьбюзье. Художник и архитектор Леонардо Да Винчи считал, что идеальные пропорции человеческого тела должны быть связаны с золотым сечением. Архитектор Ле Корьбюзье руководствовался им во множестве своих работ. Мне же хотелось получить первоначальные знания по этой теме.

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно например было принято брать размеры картины такими, чтобы отношение ширины к высоте было равно числу Фидия. Форму золотого сечения придавали не только картинам, но и книгам, столам, открыткам. Поэтому мне бы хотелось подробнее рассмотреть применение золотого сечения в различные эпохи от древности, эпохи Возрождения до XlX века. Для этого нужно прочитать и изучить литературу, связанную с этой темой, найти наиболее интересные факты и изложить их в своем реферате.

Цель данного реферата заключается в том, чтобы представить информацию наглядно и интересно. Для достижения цели поставлены следующие задачи

дать определение понятий симметрии и ассиметрии, золотое сечение.
описать золотые фигуры и построить некоторые из них
рассказать о применении и использовании божественной пропорции человеком

Для написания своей работы я использую следующую литературу: Азевич А.И. «Двадцать уроков гармонии», Ведов В. «Пирамиды здоровья», Сагателова С. С., Студенецкая В.Н. «Геометрия: красота и гармония. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости. Золотая симметрия, Пропорция вокруг нас. 8-9 классы: элективные курсы», Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики», статьи из электронной версии библиотеки «Наука и техника», электронная версия энциклопедии для детей по математике. Книга Азевич А.И. «Двадцать уроков гармонии», по моему мнению, хорошо раскрывает тему симметрии и ассиметрии, и дает понятные и подробные начальные сведения о золотом сечении. Сагателова С. С., Студенецкая В.Н. «Геометрия: красота и гармония. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости. Золотая симметрия, Пропорция вокруг нас. 8-9 классы: элективные курсы» хорошо описывает золотые фигуры и способы их построения. Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики» подробно объясняет выведение формул золотого сечения и их свойства, так же хорошо описывает построения золотого сечения и пентаграммы. Ведов В. «Пирамиды здоровья» доступно и понятно объясняет ряд Фибоначчи и получения числа Фидия. Статьи из электронной версии библиотеки «Наука и техника», электронная версия энциклопедии для детей по математике дают подробное описание применения золотого сечения в древности, эпохи Возрождения и XIX веке.

Глава 1 Золотое сечение — симметрия или ассиметрия?

Важнейшая цель этого реферата – показать красоту как главную категорию эстетики и математики.

Задумывались ли вы когда-нибудь над значением слова «гармония»?

Гармония греческое слово, обозначающее «согласованность, соразмерность, единство частей и целого». Внешне гармония может проявляться в мелодии, ритме, симметрии и пропорциональности. Две последние относятся к математике. Математика уникальное средство познания красоты. Поскольку красота многогранна и многолика, она подтверждает универсальность математических закономерностей.

Во всем царит гармонии закон,

И в мире всё суть ритм, аккорд и тон.

Дж. Драйден^¹

Продолжим рассказ по принципу от большего к меньшему.

Симметрия – основополагающий принцип устройства мира.

Симметрия – в широком или узком смысле, в зависимости от того, как вы определяете значение этого понятия, — является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.^²

Г. Вейль

Симметрия – распространенное явление, ее всеобщность служит эффективным методом познания природы. Симметрия в природе нужна, чтобы сохранять устойчивость. Внутри внешней симметрии лежит внутренняя симметрия построения, гарантирующая равновесие. Симметрия – проявление стремления материи к надежности и прочности.

Симметричные формы обеспечивают повторяемость удачных форм, поэтому более устойчивы к различным воздействиям. Симметрия многообразна.

Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разным операциям – поворотам, отражениям, переносам.

Существует три главных вида симметрии изучаемых в школе: симметрия относительно точки (центральная симметрия), симметрия относительно прямой (осевая симметрия) и симметрия относительно плоскости.

Центральная симметрия цветка

Центральная симметрия в орнаменте созданном человеком.

Симметрия относительно прямой на примере здания МГУ

Симметрия относительно плоскости в шаре.

Это не единственные виды симметрии, также существует и винтовая симметрия. Если рассматривать расположение листьев на ветке дерева мы заметим, что лист отстоит от другого, но и повернут вокруг оси ствола. Листья располагаются на стволе по винтовой линии, чтобы не заслонять друг от друга солнечный свет.

Винтовая симметрия в природе на примере ракушки.

Использование винтовой симметрии человеком на примере лестницы.

Симметрия многолика. Она обладает свойствами, которые одновременны и просты и сложны, способны проявляться и единожды и бесконечно много раз.

Если человеку мало знакомому предложить несколько фигур, он интуитивно выберет наиболее симметричные. Скорее всего, оказавшись в такой ситуации, мы выберем равносторонний треугольник или квадрат.

Человек инстинктивно стремится к устойчивости, удобству и красоте. Мир настолько хаотичен и непредсказуем, что человеку наиболее приятны для восприятия фигуры и вещи, содержащие в себе порядок, гармонию, симметрию. Работать с фигурами, у которых больше симметрий легче.

По тому, сколько симметрий имеют фигуры, можно проводить их классификацию. Самой совершенной фигурой считается шар, обладающий всеми видами симметрии.

Симметрия трудолюбива. Каждому своему виду она дает могущество порождать все новые и новые фигуры.

Симметрию можно наблюдать во всех сферах нашей жизни: симметрия построения зданий, музыки и симметрия образов в литературе, симметрия танца.

Симметрия является одним из принципов построения мира.

Симметрия – страж покоя,

Асимметрия – двигатель жизни.^³

Гармоничным может быть и ассиметричное. Симметрия вызывает чувство покоя, неподвижности, то асимметрия вызывает ощущение движения и свободы.

Исследователи, получившие Нобелевскую премию, показали, что наш мир несимметричен, законы симметрии во Вселенной не наблюдаются. Мир асимметричен на всех уровнях: от элементарных частиц до биологических видов.

Золотое сечение

Самым известным примером гармонии ассиметрии является золотое сечение. Есть слова, принадлежащие Иоганну Кеплеру: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении»^⁴ Великий ученый пол словами «деление отрезка в среднем и крайнем отношении» имеет ввиду известную пропорцию – золотое сечение. Именно эта пропорция является темой моего реферата. В следующих главах я расскажу о применении золотого сечения, а ниже дам определение этого понятия и способы его получения.

Деление отрезка в среднем и крайнем отношении называют золотым сечением. Другое название – «золотая пропорция».^⁵

с : b = b : а.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему отрезку.

a=c-b

b:c= (c-b):а

В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних

b²+ cb – c²=0

Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому после преобразований

b= −(c+√5с²)∕2 или b=(√5−1)∕2∙с

Число (√5−1)∕2 обозначается буквой в честь древнегреческого скульптора Фидия, в творениях которого это число встречается многократно.

Число — иррациональное. В практике его используют округляя до тысячных 0,618 или сотых 0,62 или десятых 0,6.

Части золотого сечения приблизительно составляют 62% и 38% всего отрезка.

Древние математики обнаружили, что золотое сечение можно получить при помощи геометрии, и потом применять в любом масштабе, даже для строительства пирамид.

Я предлагаю рассмотреть один из многих способов, как это можно сделать.

Построим отрезок AB, восстановим в точке B перпендикуляр к AB, на нем отложим точку E таким образом, чтобы BE=0,5AB
Далее соединив точки A и E, отложим ED=BE, и AC=AD. Точка С является искомой, она производит «золотое сечение» отрезка AB.

Заметим, что по теореме Пифагора

(AD + DE)²=AB² + BD²,

а по построению AD=AC, DE=BE=0,5AB

Из этих равенств следует, что AC² + AC∙AB=AB², а отсюда можно получить равенство

AC:AB=CB:AC

Свойства ^⁶

Первое свойство:

1∕ ≈ −1

то есть 1∕1,618≈1,618−1

Второе свойство:

²≈ +1
то есть 1,618∙1,618≈2,618=1,618+1

Эти свойства имеют многогранные применения, но об этом в следующей части.

Глава 2 Золотые фигуры

На основе идеи золотого сечения существуют различные фигуры, содержащие эту пропорцию. Аналогично названию пропорции, их называют «золотые фигуры». Каждая такая фигура обязательно содержит пропорцию Фидия.

Золотой прямоугольник^⁷

Золотой прямоугольник – прямоугольник, у которого отношение смежных сторон дает пропорцию Фидия. А форму «золотого сечения» придавали книгам, столам и т.д. «Золотой прямоугольник» обладает интересным свойством: если от него отрезать квадрат, то останется вновь «золотой прямоугольник». Так можно продолжать до бесконечности. Если провести диагонали первого и второго прямоугольников, то точка О их пересечения принадлежит всем получаемым «золотым прямоугольникам»

Произведения в искусстве значительно улучшены с использованием знания Золотого прямоугольника. Притягательность его ценности и употребления были особенно сильны в древнем Египте и Греции и во времена Ренессанса, т.е. во всех важных периодах цивилизации. Леонардо да Винчи ( Leonardo da Vinci ) придавал огромное значение Золотой пропорции. Он также находил ее приятной в своих соотношениях и говорил: Если предмет не имеет правильного облика, он не работает. Многие из его картин обладают правильным обликом, потому что он использовал Золотое сечение для того, чтобы усилить их привлекательность.

Золотой треугольник^⁸

Золотой треугольник представляет собой равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется числу Фидия. Одним из его свойств является то что, длины биссектрис его углов при основании равны длине самого основания. Остальные свойства «вытекают» из свойств пентаграммы, которую мы рассмотрим позже.

Стороны золотого треугольника образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Одним из свойств золотого треугольника является то что, длины биссектрис его углов при основании равны длине самого основания. Остальные свойства вытекают из свойств пентаграммы, которую мы рассмотрим позже.

Построение золотого треугольника

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Точка С разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения.

Золотой кубоид

«Золотой кубоид» — это прямоугольный параллелепипед с ребрами. «Золотой кубоид» – это прямоугольный параллелепипед с ребрами длиной Ф, 1 и j. Площадь его поверхности равна 4Ф, а диагональ – 2. Описанная вокруг него сфера имеет радиус «1». Значит, площадь ее поверхности равна 4p. Следовательно, отношение площади поверхности этой сферы к площади поверхности «золотого кубоида» равно p / Ф.

Пентаграмма^⁹

Пятиконечная звезда, пожалуй, является одной из самых известных фигур. Она постоянно привлекала внимание людей своим совершенством. Пифагорейцы – ученики Пифагора выбрали ее в качестве символа своего союза именно эту звезду. Ее же считали амулетом здоровья. Сейчас звезда используются на многих флагах и гербах многих стран. Почему же она так привлекает, притягивает взгляд? Дело в том, что в этой звезде есть удивительное постоянство отношений составляющих ее отрезков.

Нужно построить ее, чтобы в этом убедиться.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471…1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения. Описание построения золотого треугольника написано выше.

Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Построения золотых пятиугольника и пентаграммы содержатся уже в «Началах» Евклида, написанных за 300 лет до нашей эры. Процесс построения циркулем и линейкой описан еще в первой главе.

Пентаграмма из церкви Святого Петра.

Структура яблока в разрезе.

Если разрезать поперёк яблоко или грушу, то мы увидим вот такую структуру расположения семян . Цветы этих деревьев так же имеют структуру пятиугольника.

Пятиконечная звезда – это вторая пространственная структура вокруг которой гнездятся мистика и в разное время у разных народов пятиконечная звезда означала разное.

У пифагорейцев — символ здоровья и совершенства, опознавательный знак общины.

В христианской символике пентаграмма символизирует пять ран Иисуса или, в числовом толковании, сумму Троицы (Отец, Сын и Дух Святой) и двойственной природы Христа (божественной и человеческой).

На фото приведена деталь отделки северного фасада Амьенского собора. Амьенский собор (фр. Cathédrale Notre-Dame d’Amiens) — самый большой из французских соборов по своему объему (200 000 м³).

Перевёрнутая пентаграмма, пятиконечная звезда с тремя лучами, направленными вниз, в начале истории христианства перевёрнутая пентаграмма трактовалась как символ Преображения Христа.

Различают также “мужскую” и “женскую” пентаграммы (женская в с двумя лучами кверху). Иногда (особенно в Алхимии) упоминается как защитный знак, так как вызванный демон не мог переступить её линий. Например, в “Фаусте” Гёте сам Мефистофель не мог покинуть комнату, пока на выходе была нарисованна пентаграмма. Тамплиеры считали Пентаграмму символом Священного Женского Начала, а в Индии пентаграмма — символ Венеры (богини Кали).^¹⁰

5. *Золотая спираль

Расскажем ещё об одном замечательном применении золотого сечения в геометрии – о золотой спирали. Строго говоря, спираль не является фигурой, скорее кривой, но именно в этой главе уместно описать её.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Он называл спираль «кривой жизни». Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Молекула ДНК закручена двойной спиралью.

Существует математическая прогрессия, известная как ряд Фибоначчи, и она имеет особое отношение к числу фи и пирамидам в Гизе. Принципы этого ряда впервые изложил средневековый математик Леонардо Фибоначчи. Этот ряд использовали для описания роста растений. Вот эта последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и так далее. Для того, чтобы получить каждое следующее число в этом ряду, надо сложить два предыдущих: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13 и так далее.

У этой последовательности очень интересное соотношение с числом фи: если разделить каждый член этого ряда на предыдущий, полученные результаты будут стремиться к трансцендентному числу 1,6180339.

1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.66, 13/8=1.625, 21/13=1.615, 34/21=1.619, 55/34=1.617, 89/55=1.6181, Чем дальше вы будете продолжать считать, тем ближе будете подходить к числу фи. Конечно, вы никогда не дойдете до него, потому что у него нет арифметического решения, но вы будете бесконечно приближаться к нему. Эту последовательность можно изобразить графически, в виде так называемой спирали Фибоначчи.

Эта спираль почти идентична логарифмической спирали фи, известной как спираль золотого сечения. Разница заключается в том, что спираль Фибоначчи – это интерпретация (при помощи целых чисел) арифметически невозможной спирали золотого сечения, у которой нет ни конца, ни начала. У спирали Фибоначчи есть определенное начало.^¹¹

Глава 3 Применение золотого сечения и его фигур

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Kорбюзье нашел, что в рельефе из храма фараонa Cети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Pамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Kвадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Платон (427…347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «;Тимей»; посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «;Началах»; Евклида. Во 2-й книге «;Начал»; дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «;Начал»; Евклида. Переводчик Дж.Kампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Cекреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «;О перспективе в живописи»;. Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «;Божественная пропорция»; с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Kнига была восторженным гимном золотой пропорции. Cреди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «;божественную суть»; как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок — бога отца, а весь отрезок — бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «;Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать»;.Cудя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Pост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица — ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоган Kеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «;вместе с водой выплеснули и ребенка»;. Вновь «;открыто»; золотое сечение было в середине XIX в.

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «;Эстетические исследования»;. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».^¹²

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа — важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела — длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах.

Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

Золотое сечение в скульптуре

Эти пропорции человеческого тела использовались еще античными скульпторами при создании скульптур. Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.

Дорифор — это не изображение конкретного спортсмена-победителя, а иллюстрация канонов мужской фигуры.

Иногда эту статую так и называли — «Канон Поликлета», вслед за одноименным теоретическим трактатом его создателя. Поликлет выводил там цифровой закон идеальных пропорций человека. Эти пропорции находятся друг с другом в цифровом соотношении. Вдобавок, в нем воплощаются теоретические идеи о перекрещенном распределении напряжения в руках и ногах. Основы пифагореизма, этой числовой магии, которой придерживался Поликлет, тоже повлияли на пропорции Копьеносца.

Венера Милосская, статуя богини Афродиты и эталон женской красоты, является одним из лучших памятников греческого скульптурного искусства — также построена на пропорциях золотого сечения

Хочется так же подтвердить на примере восхищение этой скульптурой. Многие поэты посвящали ей стихи и строчки, например, такие как Маяковский и Афанасий Фет, Марк Лисянский, Татьяна Бориневич-Эклога, Дроздова.^¹³ И мне хочется процитировать наиболее удачные из них:

Афанасий Фет «Венера Милосская»

И целомудренно и смело,

До чресл сияя наготой,

Цветет божественное тело

Неувядающей красой.

Под этой сенью прихотливой

Слегка приподнятых волос

Как много неги горделивой

В небесном лике разлилось!

Так, вся дыша пафосской страстью,

Вся млея пеною морской

И все победной вея властью,

Ты смотришь в вечность пред собой.

Марк Лисянский «Венера»^¹⁴

Одной рукой поддерживая тогу,

Не поднимая трепетных ресниц,

Как тайна красоты,

Как вызов богу.

Она стоит. царица всех цариц.

На длинной шее

Ни единой складки,

Две линии намечены едва.

И ямка у ключицы

Дышит сладко,

И ожерелье словно кружева.

Она стоит открыто,

Не таится,

А молодая мраморная грудь

Вздымается, волнуется, теснится,

Высокая и теплая чуть-чуть.

Весенним ранним утром

Земледелец

Её нашел случайно в борозде.

Крестьянский сын,

Тудяга и умелец,

Он ахнул,

Удивился красоте.

Он за неё в тревоге был,

Не зная

Среди своих бесчисленных забот,

Что женщина вот эта неземная

До наших дней

Спокойно доживет.

Золотое сечение в архитектуре

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.). ^¹⁵

На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618…

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари), и в пирамиде Хеопса:

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Что касается пирамид, то не только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения, то же самое явление обнаpужено и у Мексикансих пирамид.^¹⁶

Мексиканские пирамиды

Hа попеpечном сечении пиpамиды видна фоpма, подобная лестнице.В пеpвом яpусе 16 ступеней, во втоpом 42 ступени и в тpетьем — 68 ступеней.

Эти числа основаны на соотношении Фибоначчи следующим обpазом:

16 x 1.618 = 26

16 + 26 = 42

26 x 1.618 = 42

42 + 26 = 68

Золотое сечение в изобразительном искусстве

На картине И.И. Шишкина «;Сосновая роща»; просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины приблизительно в золотом сечении. Справа от сосны — освещенный солнцем пригорок. Он делит в золотом сечении правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен — при желании можно с успехом продолжить деление картины в пропорциях золотого сечения.

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда художник создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

Ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре — спирали. Многофигурная композиция, выполненная в 1509 — 1510 годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру»;Избиение младенцев»;.

Если на подготовительном эскизе Рафаэля мысленно провести линии, идущие от смыслового центра композиции — точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, — вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза (на рисунке эти линии проведены красным цветом), а после этого соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается золотая спираль. Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.

Неизвестно, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции «;Избиение младенцев»; или только «;чувствовал»; ее. Однако с уверенностью можно сказать, что гравер Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствуют добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где она у нас обозначена лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной гравюре Раймонди: арка моста, идущая от головы женщины, — в левой части композиции и лежащее тело ребенка — в ее центре.

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Посмотрим внимательно на картину «;Джоконда»;. Композиция портрета построена на»;золотых треугольниках»;.

Портрет Моны Лизы (Джоконда) привлекает тем, что композиция рисунка построена на «;золотых треугольниках»;, точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника. Зрачок левого глаза, через который проходит вертикальная ось полотна, находится на пересечении двух биссектрис верхнего золотого треугольника, которые с одной стороны, делят пополам углы при основании золотого треугольника, а с другой стороны, в точках пересечения с бедрами золотого треугольника делят их в пропорции Золотого сечения. ^¹⁷

Таким образом, Леонардо Да Винчи использовал в своей картине не только принцип симметрии, но и Золотое сечение

Картина «Святое семейство» Микеланджело признана одним из шедевров западноевропейского искусства эпохи Возрождения. Гармонический анализ показал, что композиция картины основана на пентакле.

В. И. Суриков «Боярыня Морозова».

Роли ее отведена средняя часть картины. Она окована точкой высшего взлёта и точкой низшего спадания сюжета картины.

1) Это — взлёт руки Морозовой с двуперстным крестным знамением как высшая точка.

2) Это — беспомощно протянутая к той же боярыне рука, но на этот раз — рука старухи — нищей странницы, рука, из-под которой вместе с последней надеждой на спасение выскальзывает конец розвальней.

А как обстоит дело с «высшей точкой»? На первый взгляд имеем кажущееся противоречие: ведь сечение А1В1, отстоящее на 0,618… от правого края картины, проходит не через руку, не даже через голову или глаз боярыни, а оказывается где-то перед ртом боярыни!

Золотое сечение режет здесь действительно по самому главному.

В нём, и именно в нём, — величайшая сила Морозовой.^¹⁸

Заключение

В ходе работы были раскрыты понятия симметрии и ассиметрии, золотого сечения и золотых фигур. Были описаны произведения изобразительного искусства, зодчества, скульптурного мастерства, созданные с использованием золотой пропорции.

Таким образом, цель реферата я считаю выполненной.

В 13 веке от Рождества Христова известный итальянский математик известный по имени Фиббоначи, наблюдая за различными явлениями живой природы, открыл золотую пропорцию – бесконечную последовательность чисел, где каждое последующее число является сумой двух предыдущих; разделив каждое предыдущее на последующее мы всегда будем получать приблизительно 0,618 (например 987/1597=0,618034). Леонардо Да Винчи, создавая свои картины, использовал особый способ структурного совершенства: он называл его Золотым Сечением, при котором отношение всего отрезка к большей части равно отношению большей части к меньшей и приблизительно равно 0,618. До этого в 6 веке нашей эры греческий философ и математик Пифагор находит это соотношение в геометрии. А в 3 веке нашей эры упоминание о нем можно найти и у древних египтян, которые называли его божественной сутью. Возможно, им было дано знание о существовании особых законов гармонии, которые являются основой всего совершенного в этом мире. Теперь о воде. В обычной воде угол между водородными связями равен 104, а у талой 108 и соотношение длин водородных связей 0,618. Некоторые ученые предполагают, что замерзая и оттаивая, вода неизменно сохраняет одну базовую программу жизни, именно по этой программе и создавалось все совершенное.

Список литературы

Литература

1) Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии — Москва, изд-во «Школа-Пресс», 1998 год.

2) Ведов В. Пирамиды здоровья. – Санкт-Петербург, издательство «Весь» — добрые вести, 2000 год.

3)Сагателова С. С., Студенецкая В.Н. Геометрия: красота и гармония. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости. Золотая симметрия, Пропорция вокруг нас. 8-9 классы: элективные курсы – Волгоград, изд-во «Учитель», 2007 год

4) Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики» — Москва, изд-во «Просвещение», 2007 год.

Интернет- ресурсы

сайт электронной библиотеки «Наука и техника»: /tp/iz/zs.htm

Данные соответствуют – 19.04.2011

2) статьи из энциклопедии для детей по математике: /math/gold6.html Данные соответствуют -20.04.2011

1 Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии — Москва, изд-во «Школа-Пресс», 1998 год.

3 Азевич А.И. указанное сочинение

4 Сагателова С. С., Студенецкая В.Н. Геометрия: красота и гармония. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости. Золотая симметрия, Пропорция вокруг нас. 8-9 классы: элективные курсы – Волгоград, изд-во «Учитель», 2007 год

5 /tp/iz/zs.htm Данные соответствуют 10.04.2011. Интернет сайт Библиотеки Мошкова, автор данной статьи Виктор Лаврус.

6 Азевич А.И. указанное сочинение

7 /tp/iz/zs.htm электронная библиотека «;Наука и техника»; — действительно на 11.04.2011

9 Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики – Москва, изд-во «Просвещение», 2007 год.

10 /author/litagent_audiokniga/yenciklopediya_simvolov/read_online.html?page=1 действительна на 04.04.2011

11 /tp/iz/zs.htm указанное сочинение действительна на 19.04.2011

12 /data/leonardov/zolot_sech-txt.htm действительна на 10.04.2011. Электронная версия энциклопедии «энциклопедия замечательных людей и идей»

Часть фактов была взята с /s/shakirow_d_s/zolotoececxenie.shtml Шакиров Даян Шамилевич «секрет гениальности» Действительна на 10.04.2011

13 /community/1726655/post64489082/ Действительна на 24.04.2010

15 /publ/1-1-0-18 Действительна на 19.04.2011

16 http://piramidlandia.at.ua/ Действительна на 19.04.2011

17 /idea/zolotsech/golden-section-pic002.htm указанное сочинение

18 /publ/1-1-0-18 указанное сочинение

Что представляет собой золотое сечение в математике и науке

Золотое сечение в математике и науке представляет собой пропорциональное деление некого отрезка на части разные по длине, но при этом каждый получившийся отрезок имеет такое отношение к большей части, как эта большая часть относится ко всей длине.

Соотношение отрезков можно выразить бесконечной дробью 0,618033…

Математика дает нам такое понятие как золотая пропорция. Вычислить ее возможно с помощью числа Непера – lim(1+(1/x))x. Необходимо для этого число Пи помножить на комплексное число і, а после разделить на 5. Полученное значение является степенью, в которую необходимо возвести число Непера. Полученное значение далее необходимо сложить с числом Непера, возведенном в ту же степень, только с отрицательным значением. Результатом вычислений и будет золотая пропорция.

Золотое сечение и ряд Фибоначчи

Имя Фибоначчи тесно связано с исследованиями сути золотого сечения. Он задался вопросом, как развивается идеальная популяция кроликов. По его идее существовали изначально самец и самка, которые на втором месяце жизни начали спариваться, ежемесячно самка рожала новую пару крольчат. Если принять за условие, что эти идеальные кролики никогда не умирают, то, сколько же пар будет через год? Ища ответ на этот вопрос, Фибоначчи получил ряд чисел, а именно 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8 и так до бесконечности. Эта последовательность, позволяющая понять золотое сечение, названа его именем – ряд Фибоначчи.

Элементарная математика позволяет определить, в чем особенность ряда. Так каждое число, начиная с третьего, является равным двух чисел, стоящих перед ним. Действительно, 2++3=5, а 3+5=8. При этом если разделить смежные числа, то получится значение золотого сечения. Ряд демонстрирует тот же принцип, что и золотое сечение – меньший отрезок имеет такое отношение к большему, как этот больший относится ко всей длине. Наука математика сформулировала также золотое соотношение – это выражение значения 0,618033… с помощью дроби.

Итак, математика этого явления понятно, но как же наука и жизнь используют полученные знания?

Наука и золотое сечение

Золотое сечение нашей планеты это параллель, которая имеет широту 55,62 градуса. Можно отметить, что широте золотого сечения находится Москва и много других городов России. Более того, обычно это города-миллионники! Является ли это совпадение случайным при условии, что все живое в мире тяготеет к соблюдению принципа золотого сечения.

Такая наука как астрономия говорит нам, что орбиты всех планет нашей Солнечной системы между собой соотносятся точно также как целые степени числа всем известного золотого сечения!

Наука биология подтверждает, что и в растительном мире пропорции цветов, количество лепестков их размер соотносятся аналогичным образом. Даже строение ДНК соблюдает этот закон всего живого! Строение идеального человеческого тела, такого, которое мы привыкли считать красивым, если его разбить на части, имеет необходимые пропорции. Это соотношения длины рук, ног и других частей тела, расстояние между глазами, ушами и носом на человеческом лице. Эти знания активно используют художники и модельеры.

Наука математика помогла обнаружить «золотой принцип» даже в величайших архитектурных сооружениях земли, например, пирамиде Хеопса. Люди искусства проектировали предметы интерьера, здания, целые комплексы сооружений, руководствуясь знаниями, открытыми учеными средневековья или же подражая природе, которая негласно соблюдает этот закон.

Конечно, без такой науки, как математика, люди не смогли бы сформулировать этот принцип, но внутреннее они, как и все живое в нашей вселенной, тяготеют к нему, что отражается в их творчестве.

Золотая пропорция. новый взгляд. Золотое сечение: как это работает
Золотое сечение — это универсальное проявление структурной гармонии. Оно встречается в природе, науке, искусстве – во всем, с чем может соприкоснуться человек. Однажды познакомившись с золотым правилом, человечество больше ему не изменяло.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая — ко всему целому. Приблизительная его величина – 1,6180339887. В округленном процентном значении пропорции частей целого будут соотноситься как 62% на 38%. Это соотношение действует в формах пространства и времени.

Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка, а Иоганн Кеплер называл его одним из сокровищ геометрии. Современная наука рассматривает золотое сечение как «ассиметричную симметрию», называя его в широком смысле универсальным правилом, отражающим структуру и порядок нашего мироустройства.
ИСТОРИЯ
Представление о золотых пропорциях имели древние египтяне, знали о них и на Руси, но впервые научно золотое сечение объяснил монах Лука Пачоли в книге «Божественная пропорция» (1509), иллюстрации к которой предположительно сделал Леонардо да Винчи. Пачоли усматривал в золотом сечении божественное триединство: малый отрезок олицетворял Сына, большой – Отца, а целое – Святой дух.
Непосредственным образом с правилом золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи. В результате решения одной из задач ученый вышел на последовательность чисел, известную сейчас как ряд Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. На отношение этой последовательности к золотой пропорции обратил внимание Кеплер: «Устроена она так, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». Сейчас ряд Фибоначчи — это арифметическая основа для расчетов пропорций золотого сечения во всех его проявлениях.

Леонардо да Винчи также много времени посвятил изучению особенностей золотого сечения, скорее всего, именно ему принадлежит и сам термин. Его рисунки стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, доказывают, что каждый из полученных при сечении прямоугольников дает соотношения сторон в золотом делении.
Со временем правило золотого сечения превратилось в академическую рутину, и только философ Адольф Цейзинг в 1855 году вернул ему вторую жизнь. Он довел до абсолюта пропорции золотого сечения, сделав их универсальными для всех явлений окружающего мира. Впрочем, его «математическое эстетство» вызывало много критики.

ПРИРОДА
Даже не вдаваясь в расчеты, золотое сечение можно без труда обнаружить в природе. Так, под него попадают соотношение хвоста и тела ящерицы, расстояния между листьями на ветке, есть золотое сечение и в форме яйца, если условную линию провести через его наиболее широкую часть.
Белорусский ученый Эдуард Сороко, который изучал формы золотых делений в природе, отмечал, что все растущее и стремящееся занять свое место в пространстве, наделено пропорциями золотого сечения. По его мнению, одна из самых интересных форм это закручивание по спирали.
Еще Архимед, уделяя внимание спирали, вывел на основе ее формы уравнение, которое и сейчас применяется в технике. Позднее Гете отмечал тяготение природы к спиральным формам, называя спираль «кривой жизни». Современными учеными было установлено, что такие проявления спиральных форм в природе как раковина улитки, расположение семян подсолнечника, узоры паутины, движение урагана, строение ДНК и даже структура галактик заключают в себе ряд Фибоначчи.

ЧЕЛОВЕК
Модельеры и дизайнеры одежды все расчеты делают, исходя из пропорций золотого сечения. Человек – это универсальная форма для проверки законов золотого сечения. Конечно, от природы далеко не у всех людей пропорции идеальны, что создает определенные сложности с подбором одежды.
В дневнике Леонардо да Винчи есть рисунок вписанного в окружность обнаженного человека, находящегося в двух наложенных друг на друга позициях. Опираясь на исследования римского архитектора Витрувия, Леонардо подобным образом пытался установить пропорции человеческого тела. Позднее французский архитектор Ле Корбюзье, используя «Витрувианского человека» Леонардо, создал собственную шкалу «гармонических пропорций», повлиявшую на эстетику архитектуры XX века.
Адольф Цейзинг, исследуя пропорциональность человека, проделал колоссальную работу. Он измерил порядка двух тысяч человеческих тел, а также множество античных статуй и вывел, что золотое сечение выражает среднестатистический закон. В человеке ему подчинены практически все части тела, но главный показатель золотого сечения это деление тела точкой пупа.
В результате измерений исследователь установил, что пропорции мужского тела 13:8 ближе к золотому сечению, чем пропорции женского тела – 8:5.
ИСКУССТВО ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФОРМ
Художник Василий Суриков говорил, «что в композиции есть непреложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поставить нельзя, это настоящая математика». Долгое время художники следовали этому закону интуитивно, но после Леонардо да Винчи процесс создания живописного полотна уже не обходится без решения геометрических задач. Например, Альбрехт Дюрер для определения точек золотого сечения использовал изобретенный им пропорциональный циркуль.
Искусствовед Ф.В.Ковалев, подробно исследовав картину Николая Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском», отмечает, что каждая деталь полотна, будь то камин, этажерка, кресло или сам поэт, строго вписаны в золотые пропорции.

Исследователи золотого сечения без устали изучают и замеряют шедевры архитектуры, утверждая, что они стали таковыми, потому что созданы по золотым канонам: в их списке Великие пирамиды Гизы, Собор Парижской Богоматери, Храм Василия Блаженного, Парфенон.
И сегодня в любом искусстве пространственных форм стараются следовать пропорциям золотого сечения, так как они, по мнению искусствоведов, облегчают восприятие произведения и формируют у зрителя эстетическое ощущение.
СЛОВО, ЗВУК И КИНОЛЕНТА
Формы временно?го искусства по-своему демонстрируют нам принцип золотого деления. Литературоведы, к примеру, обратили внимание, что наиболее популярное количество строк в стихотворениях позднего периода творчества Пушкина соответствует ряду Фибоначчи – 5, 8, 13, 21, 34.
Действует правило золотого сечения и в отдельно взятых произведениях русского классика. Так кульминационным моментом «Пиковой дамы» является драматическая сцена Германа и графини, заканчивающаяся смертью последней. В повести 853 строки, а кульминация приходится на 535 строке (853:535=1,6) – это и есть точка золотого сечения.

Советский музыковед Э.К.Розенов отмечает поразительную точность соотношений золотого сечения в строгих и свободных формах произведений Иоганна Себастьяна Баха, что соответствует вдумчивому, сосредоточенному, технически выверенному стилю мастера. Это справедливо и в отношении выдающихся творений других композиторов, где на точку золотого сечения обычно приходится наиболее яркое или неожиданное музыкальное решение.
Кинорежиссер Сергей Эйзенштейн сценарий своего фильма «Броненосец Потёмкин» сознательно согласовывал с правилом золотого сечения, разделив ленту на пять частей. В первых трех разделах действие разворачивается на корабле, а в последних двух – в Одессе. Переход на сцены в городе и есть золотая середина фильма.

Ещё в древнем Египте было известно Золотое сечение , Леонардо да Винчи и Евклид изучали свойства его. Зрительное восприятие человека устроено таким образом, что он различает по форме все предметы, которые его окружают. Его интерес к предмету или его форме, продиктован иногда необходимостью, или этот интерес могла вызвать красота предмета. Если в самой основе построения формы, использовано сочетание золотого сечения и законы симметрии, то это наилучшее сочетание для визуального восприятия человеком, который ощущает гармонию и красоту. Всё целое состоит из частей, больших и малых, и эти разной величины части имеют определённое отношение, как друг к другу, так и к целому. А высшее проявление функционального и структурного совершенства в природе, науке, искусстве, архитектуре и технике это Принцип золотого сечения . Понятие о золотом сечении ввел в научный обиход древнегреческий математик и философ (VI в. до н.э.) Пифагор. Но само знание о
золотом сечении он позаимствовал у древних египтян. Пропорции всех построек храмов, пирамиды Хеопса, барельефов, предметы быта и украшения из гробниц показывают, что соотношение золотого сечения активно использовалось древними мастерами ещё задолго до Пифагора. Как пример: барельеф из храма Сети I в Абидосе и в барельефе Рамзеса использован принцип золотого сечения в пропорциях фигур. Выяснил это архитектор Ле Корбюзье. На деревянной доске извлечённой из гробницы Зодчего Хесира, изображен рельефный рисунок, на котором виден сам зодчий, держащий в руках инструменты для измерений, которые изображены в положении фиксирующем принципы золотого сечения . Знал о принципах золотого сечения и Платон (427…347 гг. до н.э.). Диалог «Тимей» тому доказательство,так как он посвящен вопросам золотого деления , эстетическим и математическим воззрениям школы Пифагора. Принципы
Золотого сечения использованы древнегреческими архитекторами в фасаде храма Парфенона. Циркули которые применяли в своей работе древние архитекторы и скульпторы античного мира были обнаружены при раскопках храма Парфенона.
Парфенон, Акрополь., Афины В Помпеях (музей в Неаполе) пропорции золотого деления так же имеются в наличии. В античной литературе дошедшей до нас принцип золотого сечения упоминается впервые в «Началах» Евклида. В книге «Начал» во второй части дается геометрический принцип золотого сечения . Последователями Евклида стали Папп (III в. н.э.) Гипсикл (II в. до н.э.), и др. В средневековую Европу с принципом золотого сечения познакомились по переводам с арабского Евклидовских «Начал». Принципы золотого сечения были известны только узкому кругу посвященных,они ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Наступила эпоха возрождения и интерес к принципам золотого сечения
увеличивается в среде учёных и художников так как этот принцип применим и в науке, и в архитектуре, и в искусстве. И Леонардо Да Винчи стал использовать эти принципы в своих произведениях, даже более того он начал писать книгу по геометрии, но но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, который опередил его и выпустил в свет книгу «Божественная пропорция» после чего Леонардо оставил свой труд не законченным. По оценкам историков науки и современников, Лука Пачоли являлся настоящим светилом, гениальным Итальянским математиком в проживавшим в период между Галилеем и Фибоначчи. Являясь учеником художника Пьеро делла Франчески, Лука Пачоли написал две книги, «О перспективе в живописи», название одной из них. Он по мнению многих является творцом начертательной геометрии. Лука Пачоли по приглашению герцога Моро в 1496 г приезжает в Милан, и читает там лекции по математике. Леонардо да Винчи в это время работал при дворе Моро. Изданная в 1509 году в Венеции книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» стала восторженным гимном золотой пропорции , с иллюстрациями прекрасно выполненными, есть все основания полагать что иллюстрации выполнил сам Леонардо да Винчи. Монах Лука Пачоли, как одно из достоинств золотой пропорции выделял её «божественную суть». Понимая научную и художественную ценность золотого сечения,Леонардо да Винчи посвящал много времени для его изучения. Выполняя сечение стереометрического тела, состоящего из пятиугольников, он получал прямоугольники с отношениями сторон в соответствии с золотым сечением . И название он ему дал “золотое сечение ”. Которое держится до сих пор. Альбрехт Дюрер,так же занимается изучением золотого сечения в Европе, встречается с монахом Лукой Пачоли. Иоган Кеплер величайший астроном того времени, первым обращает внимание на значение золотого сечения для ботаники называя его сокровищем геометрии. Он называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Она так устроена, – он говорил, – сумма двух младших членов нескончаемой пропорции дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».
Золотой треугольник:: Золотое отношение и Золотое Сечение:: Золотой прямоугольник:: Золотая спираль
Золотой треугольник
Что бы найти отрезки золотой пропорции нисходящего и восходящего рядов воспользуемся пентаграммой.
Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы
Для того чтобы построить пентаграмму нужно начертить правильный пятиугольник по разработанному немецким живописцем и графиком Альбрехтом Дюрером, способом построения. Если O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Используя циркуль, отметим отрезок на диаметре CE = ED. Тогда длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Затем через один угол соединяем углы пятиугольника диагоналями и получим пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения. Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.
Рис. 6. Построение золотого
треугольника
Золотое сечение и Золотое Сечение
В математике и искусстве, две величины находятся в золотой пропорции, если соотношение между суммой этих величин и большиего такое же, как соотношение между большего и меньшего. Выразил алгебраически: Золотое сечение часто обозначается греческой буквой фи (? или?). фигура золотого сечения иллюстрирует геометрические отношения, которые определяют эту константу. Золотое сечение является иррациональной математической константой, примерно 1,6180339887.
Золотой прямоугольник
Золотой прямоугольник представляет собой прямоугольник, длины сторон находятся в золотой пропорции, 1: ? (один-к-фи), то есть 1: или примерно 1:1.618. Золотой прямоугольник может быть построен только с линейкой и циркулем: 1. Построить простой квадрат 2. Нарисуйте линию от середины одной стороны площади к противоположному углу 3. Используйте эту линию в качестве радиуса, чтобы нарисовать дугу, которая определяет высоту прямоугольника 4. Завершить золотой прямоугольник
Золотая спираль
В геометрии, золотой спиралью является логарифмическая спираль, фактор роста которой b связано с ? , золотым сечением. В частности, золотая спираль становится более широкой (дальше от места ее начала) на коэффициент ? для каждой четверти оборота который она делает.
Последовательные точки деления золотого прямоугольника на квадраты, лежат на логарифмической спирали, которая иногда известна как золотая спираль.
Золотое сечение в архитектуре и искусстве.
Многие архитекторы и художники свои работы исполняли в соответствии с пропорциями золотого сечения, особенно в виде золотого прямоугольника, в котором отношение большей стороны к меньшей имеет пропорции золотого сечения, полагая, что это соотношение будет эстетично. [ Источник: Wikipedia.org ]
Вот несколько примеров:

Парфенон, Акрополь., Афины . Этот древний храм подходит почти точно в золотой прямоугольник.

Витрувианский Человек Леонардо да Винчи можно сделать много линий прямоугольников в эту цифру. Затем, существуют три различных набора золотых прямоугольников: Каждый набор для области головы, туловища, и ног. Рисунок Леонардо Да Винчи Витрувианский Человек иногда путают с принципами «золотого прямоугольника», однако, это не так. Построение Витрувианского Человека основано на рисовании круга с диаметром, равным диагонали квадрата, перемещая его вверх таким образом, что он будет касаться основания квадрата и составление окончательного круга между основанием площади и средней точке между площадью центра квадрата и центра круга: Подробное объяснение о геометрических строительство >>
Золотое сечение в природе.
Адольф Цейзинг, чьи основные интересы были математика и философия, нашел золотую пропорцию в расположении ветвей вдоль стебля растения и прожилок в листьях. Он расширил свои исследования и от растений перешёл к животным, изучая скелеты животных и разветвлений их вен и нервов, а так же в пропорциях химических соединений и геометрии кристаллов, вплоть до использования золотого сечения в изобразительном искусстве. В этих явлениях, он увидел, что золотая пропорция используется везде в качестве универсального закона, Цейзинг написал в 1854 году.: Золотое сечение является универсальным законом, в котором содержится основной принцип формирующий стремление к красоте и полноте в таких областях, как природы, так и искусства, которая пронизывает, как первостепенный духовный идеал, всех структур, форм и пропорций, будь то космическое или физическое лицо, органическое или неорганическое, акустическое или оптическое, но свою наиболее полную реализацию принцип золотого сечения находит, в человеческой форме.
Примеры:
Срез оболочки Nautilus открывает золотой принцип построения спирали.
Моцарт разделил свои сонаты на две части, длины которых отражают золотое сечение , хотя существует много споров о том, сознательно ли он это сделал. В более современные времена, венгерский композитор Бела Барток и французский архитектор Ле Корбюзье целенаправленно включали принцип золотой пропорции в свои работы. Даже сегодня, золотое сечение окружает нас повсеместно в искусственных предметах. Посмотрите на практически любой христианский крест, отношение вертикальной части к горизонтальной золотая пропорция. Чтобы найти золотой прямоугольник, посмотрите в своём бумажнике, и вы найдёте там кредитные карты. Несмотря на эти многочисленные доказательства приведённые в произведениях искусства созданные на протяжении веков, в настоящее время ведутся дискуссии среди психологов о том, действительно ли люди воспринимают золотые пропорции, в частности, золотой прямоугольник, как более красивым, чем другие формы. В 1995 году статье в журнале, профессор Кристофер Грин, из Йоркского университета в Торонто, обсуждает ряд экспериментов на протяжении многих лет, которые не показали какого либо предпочтение форме золотой прямоугольник, но отмечает, что некоторые другие представили доказательства того, что такое предпочтение не существует. Но независимо от науки, золотое сечение сохраняет свою загадочность, отчасти потому, что отлично применяется во многих неожиданных местах в природе. Спираль раковины моллюска Наутилус удивительно близка к золотому сечению , и отношение длины грудной клетки и живота у большинства пчел почти золотое сечение . Даже сечения из наиболее распространенных форм человеческой ДНК прекрасно вписывается в золотой десятиугольник. Золотое сечение и его родственники также появляются во многих неожиданных контекстах, в математике, и они продолжают вызвать интерес математических сообществ. Д-р Стивен Марквардт, бывший пластический хирург, использовал эту загадочную пропорцию золотое сечение , в своей работе, которое уже давно отвечает за красоту и гармонию, чтобы сделать маску, которую он считал самой красивой формой человеческого лица которое только может быть.
Маска совершенного человеческого лица
Египетская царица Нефертити (1400 до н.э.)
лицо Иисуса копия с Туринской плащанице и исправлено в соответствии с маской д-ра Стивена Марквардта.
«Усредненное» (синтезированное) лицо из числа знаменитостей. С пропорциями золотого сечения.
Использовались материалы сайта: http://blog.world-mysteries.com/
Геометрия — точная и достаточно сложная наука, которая при всем этом является своеобразным искусством. Линии, плоскости, пропорции — все это помогает создавать много действительно прекрасных вещей. И как ни странно, в основе этого лежит именно геометрия в самых разных ее формах. В этой статье мы рассмотрим одну очень необычную вещь, которая непосредственно связанна с этим. Золотое сечение — это именно тот геометрических подход, о котором пойдет речь.
Форма предмета и ее восприятие
Люди чаще всего ориентируются на форму предмета для того, чтобы распознавать его среди миллионов других. Именно по форме мы определяем, что за вещь лежит перед нами или стоит вдали. Мы в первую очередь узнаем людей по форме тела и лица. Поэтому с уверенностью можем утверждать, что сама форма, ее размеры и вид — одна из самых важных вещей в восприятии человека.
Для людей форма чего бы то ни было представляет интерес по двум главным причинам: либо это диктуется жизненной необходимостью, либо же вызывается эстетическим наслаждением от красоты. Самое лучшее зрительное восприятие и ощущение гармонии и красоты чаще всего приходит, когда человек наблюдает форму, в построении которой использовались симметрия и особое соотношение, которое и называется золотым сечением.
Понятие золотого сечения
Итак, золотое сечение — это золотая пропорция, которая также является гармоническим делением. Для того чтобы объяснить это более понятно, рассмотрим некоторые особенности формы. А именно: форма является чем-то целым, ну а целое, в свою очередь, всегда состоит из некоторых частей. Эти части, вероятнее всего, обладают разными характеристиками, по крайней мере разными размерами. Ну а такие размеры всегда находятся в определенном соотношении как между собой, так и по отношению к целому.
Значит, другими словами, мы можем утверждать, что золотое сечение — это соотношение двух величин, которое имеет свою формулу. Использование такого соотношения при создании формы помогает сделать ее максимально красивой и гармоничной для человеческого глаза.
Из древней истории золотого сечения
Соотношение золотого сечения часто используют в самых разных сферах жизни прямо сегодня. Но история этого понятия уходит еще в древние времена, когда только зарождались такие науки, как математика и философия. Как научное понятие золотое сечение вошло в обиход во времена Пифагора, а именно в VI веке до нашей эры. Но еще до того знания о подобном соотношении на практике использовали в Древнем Египте и Вавилоне. Ярким свидетельством этого являются пирамиды, для построения которых использовали именно такую золотую пропорцию.
Новый период
Эпоха Возрождения стала новым дыханием для гармонического деления, особенно благодаря Леонардо да Винчи. Это соотношение все больше начали использовать как в таких как геометрия, так и в искусстве. Ученные и художники стали более глубоко изучать золотое сечение и создавать книги, рассматривающие этот вопрос.
Одна из самых важных исторических работ, связанных с золотой пропорцией, — это книга Луки Панчоли под названием «Божественная пропорция». Историки подозревают, что иллюстрации этой книги были выполнены самим Леонардо до Винчи.
золотой пропорции
Математика дает очень четкое определение пропорции, которое говорит о том, что она является равенством двух соотношений. Математически это можно выразить таким равенством: а:b=с:d, где а, b, с, d — это некоторые определенные значения.
Если рассматривать пропорцию отрезка, разделенного на две части, то можем встретить всего несколько ситуаций:
Отрезок разделен на две абсолютно ровные части, а значит, АВ:АС= АВ:ВС, если АВ — это точна начала и конца отрезка, а С — точка, которая и разделяет отрезок на две равные части.
Отрезок разделен на две неравные части, которые могут находиться в самом разном соотношении между собой, а значит, здесь они абсолютно непропорциональны.
Отрезок разделен так, что АВ:АС= АС:ВС.
Что же касается золотого сечения, то это такое пропорциональное деление отрезка на неравные между собой части, когда весь отрезок относится к большей части, как и сама большая часть относится к меньшей. Существует и другая формулировка: меньший отрезок так относится к большему, как и больший ко всему отрезку. В математическом соотношении это выглядит следующим образом: а:b = b:с или с:b = b:а. Именно такой вид имеет формула золотого сечения.
Золотая пропорция в природе
Золотое сечение, примеры которого мы сейчас рассмотрим, относится к невероятным явлениям в природе. Это очень красивые примеры того, что математика — это не просто цифры и формулы, а наука, которая имеет более чем реальное отражение в природе и нашей жизни вообще.
Для живых организмов одна из главных жизненных задач — это рост. Такое стремление занять свое место в пространстве, по сути, осуществляется в нескольких формах — рост вверх, практически горизонтальное расстилание по земле или закручивание по спирали на некой опоре. И как бы ни было это невероятно, много растений растут в соответствии с золотой пропорцией.
Еще один почти невероятный факт — это соотношения в теле ящериц. Их тело выглядит достаточно приятно для человеческого глаза, и это возможно благодаря тому же золотому соотношению. Если быть точнее, то длина их хвоста относится к длине всего тела как 62: 38.
Интересные факты о правилах золотого сечения
Золотое сечение — это поистине невероятное понятие, а значит, на протяжении всей истории мы можем встретить много действительно интересных фактов о такой пропорции. Представляем вам некоторые из них:
Золотое сечение в человеческом теле
В этом разделе нужно упомянуть очень значимую персону, а именно — С. Цейзинга. Это немецкий исследователь, который провел огромнейшую работу в сфере изучения золотой пропорции. Он опубликовал труд под названием «Эстетические исследования». В своей работе он представил золотое сечение как абсолютное понятие, которое является универсальным для всех явлений как в природе, так и в искусстве. Здесь можно вспомнить золотое сечение пирамиды наряду с гармоничной пропорцией человеческого тела и так далее.
Именно Цейзинг смог доказать, что золотое сечение, по сути, есть средним статистическим законом для человеческого тела. Это было показано на практике, ведь во время своей работы ему пришлось измерять очень много человеческих тел. Историки считают, что в этом опыте принимали участие более двух тысяч людей. По исследования Цейзинга, главный показатель золотого соотношения — это деление тела точкой пупка. Так, мужское тело со средним соотношением 13:8 немного ближе к золотому сечению, чем женское, где число золотого сечения составляет 8:5. Также золотую пропорцию можно наблюдать в других частях тела, таких как, например, рука.
О построении золотого сечения
На самом деле, построение золотого сечения — дело нехитрое. Как мы видим, еще древние люди справлялись с этим довольно легко. Что уже говорить о современных знаниях и технологиях человечества. В этой статье мы не будем показывать, как подобное можно сделать просто на листке бумаги и с карандашом в руках, но с уверенностью заявим, что это, на самом деле, возможно. Более того, сделать это можно далеко не одним способом.
Так как это достаточно несложная геометрия, золотое сечение является довольно простым для построения даже в школе. Поэтому информацию об этом можно легко найти в специализированных книгах. Изучая золотое сечение 6 класс полностью способен понять принципы его построения, а значит, даже дети достаточно умны для того, чтобы осилить подобную задачу.
Золотая пропорция в математике
Первое знакомство с золотым сечением на практике начинается с простого деления отрезка прямой все в тех же пропорциях. Чаще всего это реализуется с помощью линейки, циркуля и, конечно же, карандаша.
Отрезки золотой пропорции выражают как бесконечную иррациональную дробь AE = 0,618…, если АВ принимается за единицу, ВЕ = 0,382… Для того чтобы сделать эти вычисления более практическими, очень часто используют не точные, а приближенные значения, а именно — 0,62 и 0,38. Если же отрезок АВ принимать за 100 частей, то большая его часть будет равна 62, ну а меньшая — 38 частям соответственно.
Главное свойство золотого соотношения можно выразить уравнением: х 2 -х-1=0. При решении мы получаем следующие корни: х 1,2 =. Хотя математика и есть точной и строгой наукой, как и ее раздел — геометрия, но именно такие свойства, как закономерности золотого сечения, наводят таинственность на эту тему.
Гармония в искусстве через золотое сечение
Для того чтобы подвести итоги, рассмотрим коротко то, о чем уже говорили.
В основном под правило золотого соотношения подпадает много образцов искусства, где соблюдается соотношение близкое к 3/8 и 5/8. Это и есть грубая формула золотого сечения. В статье уже очень много упоминалось о примерах использования сечения, но мы еще раз посмотрим на него через призму древнего и современного искусства. Итак, самые яркие примеры из древних времен:

Что касается уже наверняка сознательного использования пропорции, то, начиная с времен Леонардо да Винчи, она вошла в использование практически во всех отраслях жизни — от науки и до искусства. Даже биология и медицина доказали, что золотое соотношение работает даже в живых системах и организмах.
«Золотое сечение» уже давно стало синонимом слова «гармония». Словосочетание «золотое сечение» обладает просто магическим действием. Если вы выполняете какой-то художественный заказ (неважно, картина это, скульптура или дизайн), фраза «работа сделана в полном соответствии с правилами золотого сечения » может стать прекрасным аргументом в вашу пользу – проверить заказчик скорее всего не сможет, а звучит это солидно и убедительно. При этом немногие понимают, что же скрывается под этими словами. Между тем, разобраться, в том, что такое золотое сечение и как оно работает, достаточно просто.
Золотое сечение – это такое деление отрезка на 2 пропорциональные части, при котором целое так относится к большей части, как большая к меньшей . Математически эта формула выглядит так: с : b = b : а или a : b = b : c .
Итогом алгебраического решения данной пропорции будет иррациональное число Ф (Ф в честь древнегреческого скульптора Фидия).
Я не буду приводить само уравнение, чтобы не загружать текст. При желании, его можно легко найти в сети. Скажу только, что Ф будет приблизительно равным 1,618. Запомните эту цифру, это числовое выражение золотого сечения .
Итак, золотое сечение – это правило пропорции, оно показывает соотношение частей и целого.
На любом отрезке можно найти «золотую точку» — точку, которая делит этот отрезок на части, воспринимаемые как гармоничные. Соответственно, так же можно разделить любой объект. Для примера построим прямоугольник, поделенный в соответствии с «золотой» пропорцией:
Отношение большей стороны получившегося прямоугольника к меньшей будет приблизительно равно 1,6 (заметьте, меньший прямоугольник, получившийся в результате построений, также будет золотым).
Вообще, в статьях, объясняющих принцип золотого сечения , встречается множество подобных рисунков. Объясняется это просто: дело в том, что найти «золотую точку» путем обычного измерения проблематично, поскольку число Ф, как мы помним, иррациональное. Зато, такие задачи легко решаются геометрическими методами, с помощью циркуля и линейки.
Однако, наличие циркуля для применения закона на практике совсем не обязательно. Есть ряд чисел, которые принято считать арифметическим выражением золотого сечения. Это ряд Фибоначчи . Вот этот ряд:
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 и т.д.
Запоминать эту последовательность не обязательно, ее можно легко вычислить: каждое число в ряду Фибоначчи равно сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618.
Один из самых древних (и не потерявших свою привлекательность до сих пор) символов, пентаграмма – прекрасная иллюстрация принципа золотого сечения .
В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении (на приведённом рисунке отношение красного отрезка к зелёному, так же как зелёного к синему, так же как синего к фиолетовому, равны). (цитата из Википедии).
Почему же «золотая пропорция» представляется такой гармоничной?
У теории золотого сечения есть масса как сторонников, так и противников. Вообще, идея о том, что красоту можно измерить и просчитать с помощью математической формулы, симпатична далеко не всем. И, возможно, эта концепция действительно казалась бы надуманной математической эстетикой, если бы не многочисленные примеры природного формообразования, соответствующие золотому сечению .

Сам термин «золотое сечение » ввел Леонардо да Винчи. Будучи математиком, да Винчи также искал гармоничное соотношение для пропорций человеческого тела.
“Если мы человеческую фигуру – самое совершенное творение Вселенной – перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека к длине от пояса до ступней”.
Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения . Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
Постепенно, золотое сечение превратилось в академический канон, и когда в искусстве назрел бунт против академизма, про золотое сечение на время забыли. Однако, в середине XIX века эта концепция вновь стала популярной благодаря трудам немецкого исследователя Цейзинга. Он проделал множество измерений (около 2000 человек), и сделал вывод, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Помимо людей, Цейзинг исследовал архитектурные сооружения, вазы, растительный и животный мир, стихотворные размеры и музыкальные ритмы. Согласно его теории, золотое сечение является абсолютом, универсальным правилом для любых явлений природы и искусства.
Принцип золотой пропорции применяется в разных сферах, не только в искусстве, но и в науке и в технике. Будучи настолько универсальной, она, конечно, подвергается множеству сомнений. Часто проявления золотого сечения объявляются результатом ошибочных вычислений или простого совпадения, (а то и подтасовки). В любом случае, к любым замечаниям, как сторонников теории, так и противников, стоит относиться критически.
А о том, как этот принцип применять на практике, можно прочитать .
Золотое сечение просто, как все гениальное. Представьте отрезок АВ, разделенный точкой С. Вам нужно лишь поставить точку С так, чтобы можно было составить равенство СВ/АС = АС/АВ = 0,618. То есть число, полученное при делении самого маленького отрезка СВ на длину среднего отрезка АС должно совпадать с числом, полученным при делении среднего отрезка АС на длину большого отрезка АВ. Числом этим будет 0,618. Это и есть золотая, или, как говорили в древности, божественная пропорция — ф (греческая «фи»). Индекс совершенства.
Трудно сказать, когда именно и кем было замечено, что следование этой пропорции дает ощущение гармонии. Но как только люди стали что-то создавать собственными руками, то интуитивно старались соблюсти это соотношение. Здания, возведенные с учетом ф , всегда выглядели более гармонично по сравнению с теми, в которых пропорции золотого сечения нарушены. Это неоднократно проверялось всевозможными тестами.
В геометрии существуют два объекта, неразрывно связанных с ф : правильный пятиугольник (пентаграмма) и логарифмическая спираль. В пентаграмме каждая линия, пересекаясь с соседней, делит ее в золотой пропорции, а в логарифмической спирали диаметры соседних витков относятся друг к другу так же, как отрезки АС и СВ на нашей прямой АВ. Но ф работает не только в геометрии. Считается, что части любой системы (например, протоны и нейтроны в ядре атома) могут находиться между собой в пропорции, соответствующей золотому числу. В этом случае, полагают ученые, система оказывается оптимальной. Правда, для научного подтверждения гипотезы требуется еще не один десяток лет исследований. Там, где ф нельзя измерить инструментальным методом, применяют так называемый числовой ряд Фибоначчи, в котором каждое последующее число является суммой двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т. д. Особенность этого ряда заключается в том, что при делении любого его числа на следующее за ним получается результат, максимально приближенный к 0,618. Например, возьмем числа 2,3 и 5. 2/3 = 0,666, а 3/5 = 0,6. По сути, здесь присутствует то же соотношение, что и между составляющими нашего отрезка АВ. Таким образом, если измерительные характеристик какого-то объекта или явления можно вписать в числовой ряд Фибоначчи, это означает, что в их строении соблюдена золотая пропорция. А таких объектов и систем бессчетное множество, и современная наука открывает все новые и новые. Так что вопрос, не является ли ф действительно божественной пропорцией, на которой держится наш мир, вовсе не риторический.
Золотая пропорция в природе
Золотая пропорция соблюдена и в природе, причем уже на самых простейших уровнях. Взять например, белковые молекулы, из которых состоят ткани всех живых организмов. Отличаются молекулы друг от друга по массе, которая зависит от числа входящих в них аминокислот. Не так давно было установлено, что наиболее распространенными являются белки с массами 31; 81,2; 140,6; 231; 319 тыс. единиц. Ученые отмечают, что этот ряд почти соответствует ряду Фибоначчи — 3, 8,13, 21, 34 (здесь ученые не учитывают десятичную разницу этих рядов).
Наверняка при дальнейших исследованиях будет найден белок, масса которого будет коррелировать с 5. Эту уверенность дает даже устройство простейших — многие вирус имеют пентагональную структуру. Стремятся к ф и пропорции химических элементов. Ближе всего к ней плутоний: соотношение числа протонов в его ядре с нейтронами равно 0,627. Дальше всего — водород. В свою очередь, число атомов в химических соединениях удивительно часто кратно числам ряда Фибоначчи. Особенно это касается окислов урана и соединений металлов.
Если вы разрежете нераскрывшуюся почку дерева, то обнаружите там две спирали, направленные в разные стороны. Это зачатки листьев. Соотношение количества витков между этими двумя спиралями всегда будет 2/3, или 3/5, или 5/8 и т. д. То есть опять по Фибоначчи. Кстати, ту же самую закономерность мы видим и в расположении семечек подсолнуха, и в строении шишек хвойных деревьев. Но вернемся к листьям. Когда они раскроются, то не потеряют своей связи с ф , поскольку будут располагаться на стебле или ветке по логарифмической спирали. Но и это еще не все. Существует понятие «угла расхождения листьев» — это угол, под которым находятся листья относительно друг друга. Вычислить этот угол не составляет большого труда. Представьте, что в стебель вписана призма с пятиугольным основанием. Теперь пустите по стеблю спираль. Точки, в которых спираль будет касаться граней призмы, соответствуют тем точкам, откуда растут листья. А теперь от первого листа проведите прямую линию вверх и посмотрите, сколько листьев будет лежать на этой прямой. Их число в биологии обозначается буквой n (в нашем случае это два листа). Теперь посчитайте количество витков, описываемых спиралью вокруг стебля. Полученное число называется листовым циклом и обозначается буквой p (в нашем случае оно равно 5). Теперь умножаем максимальный угол — 360 градусов на 2 (n) и делим на 5 (p). Получаем искомый угол расхождения листьев — 144 градуса. Соотношение n и p пиру каждого растения или дерева свое, но все они не выходят из ряда Фибоначчи: 1/2; 2/5; 3/8; 5/13 и т. д. Биологи установили, что углы, образованные по этим пропорциям, в бесконечности стремятся к 137 градусам — оптимальному углу расхождения, при котором равномерно распределяется солнечный свет по веткам и листьям. Да и в самих листьях мы можем заметить соблюдение золотой пропорции, как, впрочем, и в цветках — легче всего ее заметить в тех, что имеют форму пентаграммы.
ф не обошла и животный мир. По мнению ученых, присутствие золотой пропорции в строении скелета живых организмов решает очень важную задачу. Так достигается максимально возможная прочность остова при минимально возможном весе, что, в свою очередь, позволяет рационально распределить материю по частям тела. Это касается почти всех представителей фауны. Так, морские звезды — совершенные пятиугольники, а раковины многих моллюсков представляют собой логарифмические спирали. Соотношение длины хвоста стрекозы к ее корпусу тоже равно ф . Да и комар не прост: у него три пары ног, брюшко делится на восемь сегментов, а на голове пять усиков-антенн — все тот же ряд Фибоначчи. Число позвонков у многих животных, например у кита или лошади, равно 55. Число ребер — 13, а количество костей в конечностях — 89. А конечности сами имеют трехчастную структуру. Общее же число костей этих животных, считая зубы (которых, 21 пара) и косточки слухового аппарата,- 233 (число Фибоначчи). Чему тут удивляться, когда даже яйцо, из которого, как многие народы считают, все и произошло, можно вписать в прямоугольник золотого сечения — длина такого прямоугольника в 1,618 раза превышает его ширину.
©При частичном или полном использовании данной статьи — активная гиперссылка ссылка на познавательный журнал сайт ОБЯЗАТЕЛЬНА
Золотое сечение: полное руководство по пониманию и использованию
Дизайнеры во всем мире должны знать о золотом сечении. Это математическое соотношение, которое создает эстетически приятный дизайн. Поскольку золотое сечение так часто встречается в природе, неудивительно, что его результаты выглядят естественно.
Фото Богомила Михайлова на Unsplash
Золотое сечение носит и несколько других названий:
Божественная пропорция
Золотая середина
Золотое сечение
Фи (греческая буква)
Математика золотого сечения
Я объясню математику золотого сечения как можно проще, не вдаваясь в детали, которые вам на самом деле не нужны.Если ты успеваешь посчитать — отлично. Но если вы не можете этого сделать, ничего страшного — вы все равно сможете использовать эту концепцию в своих проектах.
Чтобы понять золотое сечение, вы должны сначала понять золотой прямоугольник
Золотой прямоугольник — это большой прямоугольник с квадратом внутри. Стороны квадрата равны наименьшей длине прямоугольника:
Источник: Википедия
Золотое сечение — это число, которое (отчасти) равно 1,618, точно так же, как пи примерно равно 3.14, но не совсем так.
Вы берете линию и делите ее на две части — длинную (а) и короткую (б). Полная длина (a + b), деленная на (a), равна (a) деленной на (b). И оба эти числа равны 1,618. Таким образом, (a + b), деленное на (a), равно 1,618, и (a), деленное на (b) , также равняется 1,618.
Вернемся к золотому прямоугольнику, потому что его намного легче понять.
Когда вы помещаете квадрат внутрь прямоугольника, он создает другой прямоугольник меньшего размера.Не обращайте внимания на черные линии и смотрите на красный и зеленый прямоугольники:
Красный квадрат имеет четыре стороны равной длины, и эта длина равна самой короткой длине прямоугольника. Разделив этот квадрат, вы автоматически создадите другой прямоугольник меньшего размера (обведен зеленым). Вместе они создают полную схему золотого сечения и основу для золотой спирали.
Вы также можете сделать новый золотой прямоугольник из меньшего прямоугольника, как этот, который я выделил синим:
Традиционная диаграмма золотого сечения состоит из восьми золотых прямоугольников:
А вот и самый маленький золотой прямоугольник, № 8:
.
Если вы начнете с нижнего левого угла и сделаете арку, чтобы соединить дальнюю сторону каждого поперечного сечения квадрата и маленького прямоугольника, вы получите Золотую спираль.
Последовательность Фибоначчи
Последовательность Фибоначчи довольно проста для понимания: вы начинаете с нуля и 1, затем получаете следующее число, складывая два числа перед ним. 0 + 1 = 1, затем 1 + 1 = 2 и т. Д. Первые несколько чисел в последовательности: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.
Если вы используете эти числа для создания квадратов такой ширины, вы можете в значительной степени создать Золотую спираль:
Источник: Math is Fun
Золотые круги
Иногда вместо спирали или в дополнение к ней можно увидеть круги в квадратах.Если вы нарисуете идеальные круги в прямоугольниках наложения золотого сечения, они будут иметь соотношение 1: 1,618 с одним соседним кругом.
Источник: Limelight Department
В логотипах Pepsi и Twitter используются Золотые круги:
Источник: Hybrid Talks
Вы видели это раньше,
Много
Природа полна золотого сечения. Это флора, ракушки, погода…
Источник: Фото Энни Спратт на Unsplash
Источник: Фото НАСА на Unsplash
И поскольку мы видим это так часто, наш мозг предпочитает это.Эта врожденная привлекательность — вот почему дизайнеры могут использовать такой мощный макет.
Золотое сечение в искусстве и дизайне
Иногда очень легко распознать золотое сечение:
Источник: staceysdetailinginc.com
Иногда вы думаете: «Понятия не имею, о чем вы говорите… подождите. Теперь я это вижу. Я думаю.»
Источник: Marketing Insiders
В другой раз можно было сойти с ума, глядя на это…
Источник: Widewalls
… но если вы сосредоточитесь на основном золотом прямоугольнике, он станет немного более ясным:
Давайте посмотрим на часто упоминаемый пример: Парфенон
Источник: Creative Bloq
Сначала вы можете увидеть это и сказать: «Мне это кажется симметричным.Как то, на что я смотрю, вписывается в эту спираль золотого прямоугольника? »
Золотое сечение — это не то, как каждая часть дизайна вписывается полностью и только в определенные разделы. Если бы это было так, то правая сторона Парфенона была бы одним большим блоком, а левая сторона была бы разделена на более мелкие блоки.
Вместо этого соотношение используется для создания гармонии и пропорции, и это можно интерпретировать по-разному.
Хотя золотое сечение основано на математике, его можно адаптировать творчески.В случае с Парфеноном золотое сечение определяет высоту и расположение компонентов дизайна. Кроме того, есть несколько способов наложить на него диаграммы золотого сечения:
Источник: Archinect
Источник: Эстер Сугихто на Medium
Источник: GoldenNumber.net
Золотое сечение и дизайн веб-сайтов
Неважно, занимаетесь ли вы математикой или у вас взорвется голова, золотое сечение немного легче понять с точки зрения дизайна. Вы сделали тяжелую работу.Пришло время взять базовый оверлей и сделать ваши веб-компоненты максимально удобными.
Золотое сечение и макет
Если вам нужен идеальный макет с золотым сечением, установите размер 1: 1,618. Например, вы можете установить ширину 960 пикселей и высоту 594 пикселей. Золотой прямоугольник составляет 594 пикселя с каждой стороны, а прямоугольник занимает остальную часть макета (594 x 366).
В
Calculator Soup есть полезный калькулятор золотого сечения, где вы можете установить любой термин (A, B или A + B), чтобы найти правильные значения золотого сечения.
Или вы можете просто использовать этот тип макета из двух столбцов, когда один столбец немного шире другого. Он организован и четко показывает иерархию.
Источник: National Geographic
.
Я использую это на своем веб-сайте, потому что домашняя страница — это коллекция моих сообщений в блоге, и мне кажется, что это один из самых узнаваемых макетов для блогов:
Однако, на мой взгляд, симметричный макет, который мы используем в Elegant Themes, более современный:
Золотое сечение и интервал
Золотое сечение может помочь вам определить, где разместить элементы вашего дизайна, какие пропорции использовать, а где оставить отрицательное пространство.Вот простой пример, и вы почти можете увидеть оверлей золотого сечения, даже не помещая его поверх:
Источник: Digiarts 2011
Вот как это выглядит, когда я применяю Золотую спираль в Photoshop:
Опять же, золотое сечение основано на математике, но когда дело доходит до применения его в дизайне, оно не идеально. Этот узор создан не на золотом прямоугольнике, поэтому золотая спираль имеет неправильные пропорции. Однако вы можете увидеть, как он может помочь дизайнеру выбрать, где разместить самый большой элемент дизайна, а также самые маленькие элементы и отрицательное пространство.
Вы также можете наложить наложение золотого сечения, чтобы применить его к различным элементам одного и того же дизайна:
Источник: Брендинг Lemongraphic. Пример с Canva.
Золотое сечение и содержание
Когда вы думаете о макете и интервале золотого сечения вместе, вы можете начать решать, где разместить контент на своем веб-сайте.
Давайте еще раз посмотрим на сайт National Geographic, на этот раз с наложенным на него золотым сечением Canva:
Макет разделен так, что содержимое выстраивается вдоль центральной линии спирали.Слева находится большой блок контента. Справа контент становится плотнее, а негатива становится больше. Ближе к центру завитка спирали вы увидите второй логотип National Geographic — нет лучшего способа продвинуть домашний брендинг, чем разместить его там, где естественный взгляд.
Вот отличный пример того, как Золотая спираль может направлять ваш взгляд через дизайн, даже минуя его основной компонент. Это полезно, если у вас есть много контента, который нужно втиснуть на одну страницу.Вы также заметите, что даже при таком упакованном и детальном дизайне все еще остается отрицательное пространство.
Источник: Дизайн Helms Workshop. Пример с Canva.
Почетное упоминание: Золотое сечение и изображения
Золотое сечение также используется в композиции фотографий. Вместо создания золотой спирали золотое сечение разбивает изображение на шесть блоков. В этом типе сетки используется то же золотое сечение: ширина и высота секций равны 1 или 0.618.
Источник: Canva
Затем вы используете пересечения для создания кадра. Цель состоит в том, чтобы поместить объект или основную часть объекта на одну из пересекающихся линий — объект не должен быть центрирован, а некоторые блоки следует оставить пустыми (в большинстве случаев, по крайней мере, — макросъемка и портреты крупным планом. заполнит почти весь кадр). Таким образом вы создадите более интересный портрет, чем если бы объект был в центре.
Гораздо более простой и доступный способ следовать этому правилу — использовать сетку «Правило третей», которая, вероятно, есть на встроенной камере вашего телефона или цифровой зеркальной фотокамере.
Вот фотография сына моей двоюродной сестры, которую я сделал. Я наложил на него сетку с Правилом третей, чтобы показать вам, где объект заполняет рамку, а где нет.
Также посмотрите, как Золотая спираль почти идеально обтекает объект:
Золотое сечение отличается от правила третей, потому что сетка правила третей имеет участки одинаковой длины и ширины. Однако это так близко — и намного проще — что фотографы обычно используют это при создании или редактировании фотографий.
Завершение
Золотое сечение можно использовать как есть или адаптировать к вашим целям и настраивать под размер — математика может иметь жесткие правила, а творчество — нет. Хотя вы можете использовать золотое сечение с самого начала, чтобы направлять свой дизайн, вы также можете использовать его после того, как вы начали проектирование , чтобы вносить изменения и улучшения. Цель состоит в том, чтобы соотношение направляло вас, а не заставляло вписывать в него дизайн.
Готовы еще больше поиграть с макетом своего веб-сайта? Ознакомьтесь с нашей статьей об использовании новых параметров высоты и ширины Divi для создания адаптивного дизайна.
Фибоначчи и золотое сечение
Существует уникальное соотношение, которое можно использовать для описания пропорций всего, от мельчайших строительных блоков природы, таких как атомы, до самых сложных структур во Вселенной, таких как невообразимо большие небесные тела. Природа полагается на эту врожденную пропорцию для поддержания баланса, но финансовые рынки, похоже, также соответствуют этому «золотому сечению». Здесь мы рассмотрим некоторые инструменты технического анализа, которые были разработаны для использования этого паттерна.
Математика
Математики, ученые и естествоиспытатели знали о золотом сечении на протяжении веков. Оно получено из последовательности Фибоначчи, названной в честь ее итальянского основателя Леонардо Фибоначчи (чье рождение предполагается около 1175 года нашей эры, а смерть — около 1250 года нашей эры). В этой последовательности каждое число представляет собой просто сумму двух предыдущих чисел ( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и т. Д.).
Ключевые выводы
Золотое сечение описывает предсказуемые узоры на всем, от атомов до огромных звезд на небе.
Соотношение получено из так называемой последовательности Фибоначчи, названной в честь ее итальянского основателя Леонардо Фибоначчи.
Природа использует это соотношение для поддержания баланса, и финансовые рынки, похоже, тоже.
Последовательность Фибоначчи может применяться к финансам с использованием четырех основных методов: ретрейсментов, дуг, вееров и часовых поясов.
Но эта последовательность не так уж и важна; скорее, существенная часть — это частное соседнего числа, которое имеет удивительную пропорцию, примерно 1.618 или его обратное 0,618. Эта пропорция известна под многими именами: золотое сечение, золотая середина, PHI и божественная пропорция, среди других. Итак, почему это число так важно? Что ж, почти все имеет размерные свойства, которые соответствуют соотношению 1,618, так что кажется, что оно имеет фундаментальную функцию для строительных блоков природы.
Докажи это
Не верите? Возьмем, к примеру, пчел. Если вы разделите пчел-самок на пчел-самцов в любом конкретном улье, вы получите 1.618. У подсолнухов, у которых есть противоположные спирали семян, соотношение диаметров каждого вращения составляет 1,618. Это же соотношение можно увидеть во взаимоотношениях между различными компонентами в природе.
Вы все еще не можете в это поверить? Вам нужно что-то, что легко измерить? Попробуйте измерить расстояние от плеча до кончиков пальцев, а затем разделите это число на длину от локтя до кончиков пальцев. Или попробуйте измерить расстояние от головы до ног и разделить его на длину от пупка до ступней.Результаты такие же? Где-то в районе 1.618? Казалось бы, золотое сечение неизбежно.
Но означает ли это, что это работает в сфере финансов? На самом деле финансовые рынки имеют ту же математическую основу, что и эти природные явления. Ниже мы рассмотрим некоторые способы применения золотого сечения к финансам и покажем несколько диаграмм в качестве доказательства.
Исследования Фибоначчи и финансы
При использовании в техническом анализе золотое сечение обычно переводится в три процента: 38.2%, 50% и 61,8%. Однако при необходимости можно использовать больше кратных, например 23,6%, 161,8%, 423% и т. Д. Между тем, есть четыре способа применения последовательности Фибоначчи к графикам: ретрейсменты, дуги, вееры и часовые пояса. Однако не все могут быть доступны в зависимости от используемого графического приложения.
1. Уровни Фибоначчи
При коррекции Фибоначчи горизонтальные линии используются для обозначения областей поддержки или сопротивления. Уровни рассчитываются с использованием точек максимума и минимума графика.Затем рисуются пять линий: первая — 100% (максимум на графике), вторая — 61,8%, третья — 50%, четвертая — 38,2% и последняя — 0% (минимум на графике). ). После значительного движения цены вверх или вниз новые уровни поддержки и сопротивления часто оказываются на этих линиях или около них.
Изображение Сабрины Цзян © Investopedia 2020
2. Дуги Фибоначчи
Поиск максимума и минимума графика — это первый шаг к составлению дуг Фибоначчи. Затем движением, похожим на компас, рисуем три изогнутые линии в точке 38.2%, 50% и 61,8% от желаемой точки. Эти линии предполагают уровни поддержки и сопротивления, а также торговые диапазоны.
Изображение Сабрины Цзян © Investopedia 2020
3. Веера Фибоначчи
Веера Фибоначчи состоят из диагональных линий. После определения максимума и минимума графика через крайнюю правую точку проводится невидимая горизонтальная линия. Затем эта невидимая линия делится на 38,2%, 50% и 61,8%, и линии проводятся от крайней левой точки через каждую из этих точек.Эти линии указывают на области поддержки и сопротивления.
Изображение Сабрины Цзян © Investopedia 2020
4. Часовые пояса Фибоначчи
В отличие от других методов Фибоначчи, часовые пояса представляют собой серию вертикальных линий. Они состоят из разделения диаграммы на сегменты с вертикальными линиями, разнесенными друг от друга с шагом, соответствующим последовательности Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и т. Д.). Каждая линия указывает время, в которое можно ожидать значительного движения цены.
Изображение Сабрины Цзян © Investopedia 2020
Золотое сечение можно применить ко всему: от природы до анатомии человека и финансов.
Итог
Исследования Фибоначчи не предназначены для предоставления основных указаний для определения времени входа и выхода из позиции; однако числа полезны для оценки областей поддержки и сопротивления. Многие люди используют комбинации исследований Фибоначчи для получения более точного прогноза. Например, трейдер может наблюдать точки пересечения в сочетании дуг Фибоначчи и сопротивлений.
Исследования Фибоначчи часто используются в сочетании с другими формами технического анализа.Например, исследования Фибоначчи в сочетании с волнами Эллиотта могут использоваться для прогнозирования степени восстановления после различных волн. Надеюсь, вы сможете найти свое собственное нишевое применение для исследований Фибоначчи и добавить его в свой набор инвестиционных инструментов.
Что такое золотое сечение в математике? — Определение и примеры — Видео и стенограмма урока
Золотое сечение и геометрия
Одним из простейших примеров золотого сечения по отношению к геометрии является специальный отрезок линии, называемый золотым отрезком , показанный здесь:
В этом сегменте отношение синего сегмента к красному сегменту равно отношению красного сегмента ко всей линии от A до C.Другими словами, AB / BC = BC / AC.
А где же 1.618? Если мы установим AB = 1 и BC = x , мы увидим интересный результат, когда решим.
Еще одно примечательное проявление золотого сечения в геометрии — пентаграмма. Верите ли вы, что это символ колдовства или божественности, одно можно сказать наверняка: он золотой.
Как и линия, которую мы видели ранее, пентаграмма может быть разбита на сегменты, которые связаны золотым сечением.Если каждая сторона внешнего пятиугольника (или зеленые стороны) равна 1 единице, то длина каждой стороны внутреннего пятиугольника (или фиолетового участка) равна 1 / φ². Кроме того, длина каждой из пяти линий, образующих периметр звездообразной формы (или оранжевой части), будет равна фи .
Наличие золотого сечения в геометрии не ограничивается пентаграммой. Те же отношения могут быть продемонстрированы в более сложных трехмерных формах, таких как додекаэдры и икосаэдры, которые имеют 12 граней и 20 граней соответственно.
Золотое сечение и ваш мир
Для того, что до сих пор может показаться вашим средним иррациональным числом, золотое сечение стало почти мифом и целью дезинформации в массовой культуре. Некоторые источники утверждают, что золотое сечение встречается практически везде, от формы ураганов и спиральных галактик до хобота слона. Эти примеры, однако, оспариваются. Исследования показали, что наши стандарты красоты основаны на золотом сечении, и что лица, демонстрирующие золотое сечение, с большей вероятностью будут идентифицированы как красивые.Хотя существуют доказательства в поддержку этой идеи, они тоже вызвали споры. Такого никогда не случится с pi !
Путаница также проистекает из того факта, что золотое сечение связано, хотя и не идентично, с последовательностью Фибоначчи. Последовательность Фибоначчи — это бесконечный ряд целых чисел (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…), в котором каждое число является суммой двух предыдущих числа. По мере того, как числа растут, соотношение двух соседних чисел является близким приближением к золотому сечению: например, 89/55 = 1.61818 повторяется.
Не будет преувеличением сказать, что последовательность Фибоначчи повсюду в природе. Он появляется в семенах цветов ананасов, в расположении ветвей и листьев на дереве и в спиральных узорах некоторых раковин.
Возьмем, к примеру, эту шишку. Если вы посчитаете количество синих спиралей, идущих по часовой стрелке от середины основания, вы получите 13; против часовой стрелки — 8 зеленых спиралей.Это увлекательная параллель между математикой и природой, но это не совсем золотое сечение.
Резюме урока
Мы снова узнали, что золотое сечение — это иррациональное число, представленное греческой буквой phi (φ), которая используется для создания геометрических фигур, пропорций которых многие люди считают наиболее приятными для глаз. Мы видели, как это может быть выражено как бесконечное число и как алгебраическое выражение. Мы также исследовали некоторые геометрические формы, зависящие от золотого сечения, и исследовали взаимосвязь между золотым сечением и последовательностью Фибоначчи .Запомните всю эту информацию в следующий раз, когда вы услышите, как кто-то утверждает, что везде видит золотое сечение!
Золотое сечение. Как только номеру присваивается его греческий язык… | Кэт Льюис
Когда номеру присваивается греческая буква, это быстро становится спорным. По крайней мере, так иногда кажется.
Золотое сечение, Phi или Φ, известно тем, что связывает математику с искусством и дизайном. Есть целые веб-сайты, посвященные обнаружению его появления в известных произведениях искусства.Другие поддерживают использование числа как основополагающего принципа дизайна. В самом крайнем конце спектра некоторые считают золотое сечение мистически или божественно красивым числом. Но есть много людей, которые говорят, что вся эта шебанг преувеличена и переоценена.
Действительно ли золотое сечение более привлекательно, чем другие пропорции?
Чтобы отделить миф от факта, сначала нужно выяснить, что такое золотое сечение. Короче говоря, чтобы получить его, вам понадобится прямоугольник, знак равенства и имя древнегреческого художника.
Золотое сечение, в первую очередь, представляет собой формулировку пропорции, записанную как «А относится к Б, как А + В относится к А.» ¹ Или, как Евклид описал это в « Элементах », «поскольку вся строка является к большему сегменту, тем больше к меньшему ». Выглядит это так:
http://www.socionomics.net/2010/03/socionomics-and-fibonacci-golden-ratio-governs-life-beauty-and-the-universe-2/
Превратите эту пропорцию в уравнение, смешайте немного алгебры, и вы получите Φ, иррациональное число, примерно равное 1.618. Умножьте любое число на Φ, и соотношение между исходным и результирующим числами будет золотым сечением. И это само по себе довольно интересная пропорция. Но, как и всеобщее любимое иррациональное число Пи, Фи вызывает восхищение из-за того, что оно часто встречается в неожиданных местах.
Подлость в золотом сечении заключается в том, что, кроме числа и отрезка линии, оно может иметь множество различных форм и иметь много разных имен. «Золотое сечение» относится к отношениям, показанным на отрезке линии выше.Разделение линии или прямоугольника с использованием этого соотношения также называется «золотым сечением» или «золотой серединой». Точно так же Φ также называют «золотым числом». Кроме того, все это много раз переименовывалось с такими названиями, как «золотая пропорция», «золотая резка», «крайнее и среднее соотношение», «медиальная часть», «божественная пропорция» и «божественная часть». ² В основном , ученые на протяжении всей истории обожали это соотношение, но они продолжали заново открывать и переименовывать его, не подозревая о том, сколько других людей также разделяли их восхищение.
Даже его символическое обозначение Φ является предметом путаницы и дублирования. Первоначально использование этой греческой буквы приписывают Марку Барру, математику с начала 20 века3. Однако сегодня мы не знаем об этом от Барра. Эта история была передана в массовую культуру из вторых рук Мартином Гарднером, давним обозревателем «Математических игр» в Scientific American. Он написал, что Барр выбрал именно это письмо в честь древнегреческого художника Фидия, который широко использовал золотое сечение в своих работах.Поворот? Барр на самом деле не согласился с этим, написав в своей статье «Параметры красоты», что маловероятно, что Фидий использовал золотое сечение.
Но подождите, это еще не все!
Один из наиболее распространенных форматов Phi — это «золотой прямоугольник», длины сторон которого связаны золотым сечением. Из-за свойств соотношения, деление золотого прямоугольника на квадрат и прямоугольник дает прямоугольник тех же «золотых» пропорций. Продолжайте делать это до бесконечности, и в результате получится особая логарифмическая спираль, которую часто называют — как вы уже догадались! — «Золотая спираль».
http://www.companyfolders.com/blog/media/2015/09/golden-spiral.jpg
Как будто этих разных форм для золотого сечения недостаточно, стоит отметить, что Φ неразрывно связана с Ряд Фибоначчи. Ряд Фибоначчи — это последовательность чисел, каждое из которых является суммой двух предыдущих. Он читается так: «0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…» и так далее и так бесконечно. Получается красивый, красивый изгиб, и последовательность чисел все время проявляется в природе.
Более того, если вы возьмете отношение двух соседних чисел в ряду Фибоначчи, вы получите число недалеко от Фи.Фактически, чем дальше по Серии Фибоначчи, тем ближе отношение к «золотому». ⁴ Таким образом, почти везде, где вы найдете Серии Фибоначчи, вы можете найти золотое сечение, и наоборот.
Если вы относитесь к тому типу людей, которым нравится заниматься геометрией для развлечения, вы скоро поймете, что Фи имеет тенденцию появляться все время там, где вы меньше всего этого ожидаете. Например, хотите вписать квадрат в полукруг? Просто используйте золотой прямоугольник!
http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/GoldenRatio.shtml
Пробуете магию и хотите нарисовать пентаграмму? Вам понадобится «золотой треугольник» или два, где отношение большой стороны к малой равно Фи.
http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/GoldenRatio.shtml
Ваш пятиугольник кривый и неправильный? На самом деле он по-прежнему будет содержать золотое сечение.
http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/GoldenRatio.shtml
А как насчет треугольника 3–4–5? (Облегчение жизни ненавистникам тригонометрии во всем мире, около 300 г. до н.э.). Это тоже связано с золотым сечением.
http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/GoldenRatio.shtml
Я мог бы продолжить, но дело в том, что моя чашка переливается примерами золотого сечения в геометрии.На самом деле мне не удалось найти хорошее объяснение того, почему он появляется в таком разнообразии форм. С другой стороны, есть одна тема, в которой повсеместность Фи вполне объяснима, — это рост растений.
Понимаете, растения, имеющие приблизительно круглые стебли, имеют тенденцию вырастать свои листья, лепестки, семена и т. Д. По спирали. Решая, какую спираль использовать, эти растения не хотят ничего, кроме как максимально эффективно использовать пространство. В случае с листьями это означает, что нужно показать как можно больше листьев солнцу, чтобы растение получило как можно больше питательных веществ и имело больше шансов на выживание.В семенах это означает эффективное использование пространства, чтобы не было досадных промежутков, которые можно было бы использовать для получения потенциального потомства.
Самый эффективный способ сделать это — использовать угол Φ. Если бы была выбрана какая-либо рациональная фракция, например 1/3, 1/5 или 1/20, расположение листьев или лепестков в конечном итоге завершило бы полный круг и перекрыло бы первый рост, блокируя солнечный свет или оставляя расточительные промежутки. Фи — более эффективный угол для роста, потому что он никогда не приведет к 100% перекрытию.
Фи, несомненно, очень важное число в мире природы. Возможно, эта важность связана с его странным названием: Φ — «самое иррациональное число». Как может одно число быть более иррациональным, чем другое? По сути, иррациональные числа можно аппроксимировать дробями рациональных чисел. Отсюда можно рассчитать «ошибку» этих приближений. Все другие иррациональные числа, такие как Пи или √ (2), статистически ближе к рациональным.
Именно на этом этапе истории этого отношения, которое так долго очаровывало многих, этот факт уступает место мнению и дебаты начинаются.Фи является константой во многих геометрических явлениях, а также встречается во многих растениях и других природных формах, вполне возможно, потому что это самое иррациональное число. Но существует ли это также в древнем искусстве и дизайне? Неужели люди действительно находят эту пропорцию самой приятной?
Как и многое в истории человечества, прошлое золотого сечения связано с множеством «он-сказала она-сказала». В результате существует множество случаев, когда появление золотого сечения в известном искусстве предполагается из вторых рук, несмотря на отсутствие конкретных доказательств.Существует огромное количество «фактов» о золотом сечении, которые, хотя и широко распространены, оспариваются исключительно из-за трудностей доступа к оригинальным сочинениям о них.
Один из них касается Парфенона, который, по мнению некоторых, был построен в соответствии с золотым сечением. В Интернете циркулируют многочисленные изображения, подобные приведенному ниже, которые утверждают, что «доказывают» существование золотого сечения в этой знаменитой структуре. Еще одно очень распространенное утверждение касается того, что Леонардо да Винчи использовал золотое сечение в своих картинах.Это часто подтверждается тем фактом, что он иллюстрировал книгу Пачоли « De Divinia Proporcione », в которой рассматривалось золотое сечение среди других математических теорий эстетики.
http://www.designbyday.co.uk/wp-content/uploads/2016/05/parthenon-golden-ratio.jpg
К сожалению, мы просто не знаем . В этих знаменитых произведениях искусства существуют соотношения, которые напоминают золотое сечение (с разной степенью точности, ясности или определенности), но наиболее научными доказательствами являются изображение, наложенное на прямоугольник, и цитата другого человека с другим изображением, наложенным на Прямоугольник.Сложности, связанные с искажением фотографий, точностью пикселей и субъективностью визуального разделения — все это затемняет намерения первоначальных создателей.
Древние египтяне, греки и римляне проявляли тайный интерес к Φ, хотя и называли его «крайним и средним соотношением». Частично его привлекательность объясняется тем, насколько легко его построить геометрически. Но никто не написал, что Парфенон был спроектирован с использованием золотого сечения. Да Винчи не писал, что использовал золотое сечение в своих работах.
Источником, вероятно, ответственным за сегодняшнее повсеместное увлечение числами (нет, , кроме «Код да Винчи») является книга Адольфа Цейзинга 1855 года, имя слишком длинное, чтобы писать здесь. Эта работа возродила интерес к числу, который угас после подъема эмпиризма в 17 веке ». Книга Цейзинга, наряду с вышеупомянутой книгой De Divinia Proporcione , составляет основу легко цитируемой информации об историческом значении золотого сечения. из-за того, насколько они недавние.
К сожалению, трудно найти легкодоступные переводы оригинальных текстов. В результате обе стороны дискуссии о золотом сечении в равной степени используют каждую из них.
Однако в последнее время, наряду с несколькими опровергнутыми призраками золотого сечения, некоторые известные художники и дизайнеры подтвердили или рекламировали свое использование золотого сечения. К ним относятся Сальвадор Дали и Ле Корбюзье.
Самая известная работа художника-сюрреалиста Дали, ориентированная на золотое сечение, — «Таинство Тайной вечери.Он был намеренно создан на холсте пропорций золотого сечения, и он расположил многие композиционные элементы картины в соответствии с тем же соотношением. Использование именно этой математической константы хорошо согласуется со страстью художника к мистицизму, а также к науке. Он написал об этом произведении:
«Первое Святое Причастие на Земле задумано как священный обряд величайшего счастья для человечества. Этот обряд выражается пластическими средствами, а не литературными.Моей целью было объединить мистический реализм Сурбарана [с] экспериментальным творчеством современной живописи в моем желании сделать ее классической ». ⁷
http://wp.production.patheos.com/blogs/billykangas/files/2014/11/dali-last-supper.jpg
Ле Корбюзье, с другой стороны, был швейцарским / французским архитектором. кто в середине двадцатого века разработал Модулор, задуманный как универсальная система пропорций. Этот основной «модуль» называется «модуляторный человек», он представляет собой фигуру шести футов высотой, пропорциональную золотому сечению в его пупке.Используя модульную конструкцию в своей работе, Ле Корбюзье построил множество зданий с золотым сечением. Однако эта система так и не получила широкого распространения, несмотря на желание Ле Корбюзье «объединить математику, человеческую форму, архитектуру и красоту в единую систему». ⁸
https://www.iconeye.com/images/2017/02/Modulor_man_le_corbusier .jpg
Все это создает интересную дилемму. Мы знаем, что некоторые недавние художники и дизайнеры использовали золотое сечение (хотя часто в погоне за мистикой или порядком, а не в чистой эстетике).Почему мы не можем предположить, что это сделали художники древности или даже эпохи Возрождения? Однако факт в том, что большая часть анализа золотого сечения, который мы способны провести сегодня, в лучшем случае неубедительна, а в худшем — полностью вводит в заблуждение.
Возьмем, к примеру, незаконченное произведение да Винчи — Святой Иероним. Это, безусловно, было приведено в качестве примера использования им золотого сечения, как показано ниже. Однако расположение прямоугольника полностью субъективно. Почему он слегка перекрывает голову и левую ткань? Почему у его правого колена и под ступней есть щели? Зачем вообще измерять драпировку его одежды, а не только его фигуру? С чем должна совпадать средняя линия — с его пальцем? Даже если исключить эти жалобы, почему его заблудшая рука не включена в коробку? Картины по своей природе имеют бесчисленное количество краев, углов и важных точек.По этой причине наложение прямоугольника не является доказательством того, что художник использовал золотое сечение.
http://www.designbyday.co.uk/wp-content/uploads/2016/05/parthenon-golden-ratio.jpg
Были предприняты определенные усилия для научного исследования того, является ли золотое сечение более привлекательным, чем другие пропорции. Объем исследований по этой теме невелик, но я хотел бы выделить несколько интересных исследований по этой теме.
Во-первых, «Все, что блестит: обзор психологических исследований эстетики золотого сечения» — это литературный обзор, опубликованный в 1995 году, который обобщает большую часть научной литературы за период с середины 19 века до 1990 года.Многие из упомянутых исследовательских работ трудно или невозможно найти в Интернете, поэтому это отличный ресурс для получения информации из вторых рук. В целом автор находит небольшое значение в психологической привлекательности Ф. Однако из-за мягкости этого открытия он ставит под сомнение влияние методологии и культуры, даже намекая на то, что возможные эффекты слишком малы, чтобы их можно было доказать с помощью научных методов.
Были сделаны особые заявления о связи золотого сечения с оптической системой человека.Однако эти утверждения противоречат друг другу. Одно исследование, например, показывает, что прямоугольники с пропорцией 3: 2 сканируются быстрее, чем другие формы. По этой причине, как утверждает автор, золотой прямоугольник приятен визуально. В другом исследовании, однако, утверждалось, что золотые пропорции визуально обрабатывались дольше, чем другие измерения, и что это может означать, что этим изображениям придается большее умственное значение. Конфликт здесь кажется образцом роли методологии, о чем свидетельствует приведенный выше обзор литературы.
Другое интересное исследование проливает свет на влияние культуры с использованием тайваньской базы участников, а не западной. Оценивая красоту различных прямоугольников, эти люди предпочитали квадраты, а не более длинные прямоугольники. Также были обнаружены корреляции между типом личности или полом и предпочтениями прямоугольника ».
На мой взгляд, наиболее интересным во всем феномене золотого сечения является то, что многие из тех самых источников, которые защищают использование золотого сечения, часто принижают значение. необходимость точного измерения соотношения.Распространенный рефрен в статьях, объясняющих, «как проектировать с использованием золотого сечения», заключается в том, что «правило третей» — хороший способ приблизиться к золотому сечению и достичь аналогичных результатов. (Правило третей — это композиционный трюк, основанный на соотношении 1/3 вместо соотношения 1,618).
Правило третей, хотя и использует пропорцию, аналогичную золотому сечению, полностью отличается с теоретической точки зрения. В то время как сторонники золотого сечения утверждают, что его привлекательность каким-то образом присуща человеческой психике, правило третей говорит нечто вроде «аранжировки выглядят более естественно, когда фокус не находится ни в центре, ни на краю пространства.«Это намного проще и менее мистично. И предложение его в качестве альтернативы золотому сечению ставит под сомнение, насколько особенным является золотое сечение.
Несмотря на стойкость многих его сторонников, мое исследование золотого сечения оказалось в лучшем случае неубедительным. Хотя он полезен для объяснения определенных математических и даже природных явлений, попытки доказать его красоту часто не попадают в цель, смешивая совпадения с замыслом или корреляцию с причинно-следственной связью.
Хотя в целом я доказывал, насколько «особенным» является золотое сечение, я склонен сказать, что ему все еще есть место в дизайне — потому что это привлекательное число и потому что у него есть библиотека композиционные приемы и правила способствуют осознанному и продуманному замыслу.Но для чего здесь нет места, так это сенсации его важности. Культ золотого сечения, хотя и восхищает своим идеализмом и стремлением к гармонии и порядку, в конечном итоге во многих случаях опирается на факты из вторых рук и неизученные утверждения.
Несмотря на интересы и навязчивые идеи некоторых художников, дизайнеров и математиков на протяжении всей истории, маловероятно, чтобы одно число могло быть волшебным решением проблемы эстетики или красоты. Тем не менее, это все еще одно красивое число, к тому же интересное.В конце концов, моя самая большая рекомендация — перед лицом запутанных и противоречивых фактов выяснить это самостоятельно. Проверьте, когда золотое сечение помогает в вашей работе, а когда нет — и из любви к логарифмическим спиралям, не мог бы кто-нибудь провести еще несколько научных исследований по этому поводу?
Все еще любопытно?
Math youtuber Vi Hart предлагает забавное и красноречивое объяснение всего феномена растения-Фибоначчи, и я очень рекомендую его.Убедитесь, что вы получили всю историю с деталями: , один, , , , , два, , и , , три, , .
Попробуйте золотое сечение с домашним лимонадом Фибоначчи по по этому рецепту .
Чтобы увидеть огромный список примеров золотого сечения в геометрии со ссылками на геометрические доказательства, попробуйте здесь .
Чтобы посмеяться, посмотрите этот пародийный аккаунт в Твиттере , на котором золотая спираль наложена на картинки и мемы из популярной культуры.
Фибоначчи и золотое сечение: божественная геометрия?
«Бог непрерывно геометризирует» , Платон (427–347 до н. Э.).
Phi (Φ, φ) — золотое число или число Фибоначчи — — это очень знакомая концепция, которую изучали математики всех возрастов. Неизвестно, например, и любителям искусства, биологии, архитектуры, музыки, ботаники и финансов. Вы, скорее всего, сталкивались с этим в любой из этих дисциплин. Означает ли это, что можно найти числовой перевод всего, что мы видим, слышим или строим вокруг нас? Пожалуй, наиболее близким ответом на этот вопрос является фраза Платона, открывающая эту статью.
Но давайте более подробно рассмотрим математический феномен, который привлек внимание мыслителей всех дисциплин и периодов с момента его открытия: золотое сечение или божественная пропорция. Прежде чем мы начнем, мы должны полностью вернуться к истории математика Леорнардо Биголло (Леонардо Пизано или «тот из Пизы») , Фибоначчи.
Спираль Фибоначчи
Фи (Φ, φ) назван Фи в честь известного греческого скульптора Фидия (V век до н. Э.), Создателя таких выдающихся архитектурных памятников, как Парфенон в Афинах . Согласно Марио Ливио в своей книге « Золотое сечение: История Фи, самого удивительного числа в мире» , , некоторые историки утверждают, что Фидий успешно использовал золотое сечение в своих работах.Вот почему американский математик Марк Барр решил почтить его память, дав символу Φ его инициал на греческом языке ( Phi) . Итак, Phi не был открыт ни Фибоначчи (он уже был определен и изучен Евклидом), ни своим названием обязан итальянцу. При этом, однако, нам нужно обратиться к открытию итальянца, если мы хотим узнать больше о потенциальной гармоничной способности Phi и его производных. Последовательность Фибоначчи и золотое число — две стороны одной медали.
Ряд, открытый математиком из Пизы (0,1,1,2,3,5,8,13…), попадает в область арифметики (он изучает числа и элементарные операции, которые могут быть выполнены с ними ). Золотое число , представленное греческой буквой Phi (Φ, φ) , получено из этой последовательности и выражает взаимосвязь между двумя сегментами прямой линии. То есть Phi — это геометрическая конструкция (относительно свойств фигур), которая происходит следующим образом:
Phi показан в виде линии, разделенной на два сегмента, a и b, так что вся линия (a + b) для более длинного отрезка a такая же, как a для более короткого отрезка b φ = (a + b) / a = a / b / Изображение: Wikimedia commons
Если мы обратимся к алгебре , чтобы получить числовое значение Φ , мы воспользуемся уравнением, согласно которому Φ = a / b. Затем мы применяем это к графическому представлению предыдущего сегмента, и когда общая длина сегмента (a + b) делится на более длинную часть (a), мы получаем тот же результат, что и при более длинной части (a). разделить на более короткую часть (б). Результатом этой операции будет 1,6180339887 … что совпадает с золотым числом, определенным Евклидом, «бесконечное и неповторимое число» (Марио Ливио).
Любопытно, что эта цифра очень похожа на результат деления любого из чисел в ряду Фибоначчи на его предшественник (пример: 5/3 = 1.666; 13/8 = 1,625). Объединение этих двух аспектов — то есть с использованием геометрии для представления арифметической концепции — дает ключевое изображение, поэтому вы находите эту статью увлекательной, хотя вы, возможно, не математик или даже не понимали числовую основу, лежащую в основе открытия Леонардо эль Пизано: Спираль Фибоначи.
Воспроизведение процесса формирования спирали Фибоначчи по отношению к числам, образующим ряд (длина прямоугольников, объединение которых приводит к форме самой спирали). Изображение: lamentiraestaahifuera.com
Вездесущность, наука или совпадение?
Свойства числа Phi поистине удивительны, и его открытие в виде отношения или пропорции привело к тщательному анализу различных форм, объектов, графических представлений и даже моделей движения, которые происходят в нашем мире и которые теоретически являются более или менее значительными. менее напрямую связано с этим измерением — золотое сечение или божественная пропорция. В этой статье описывается только золотой прямоугольник или спираль Фибоначчи , но также можно идентифицировать золотых треугольника и пятиугольника .Все эти формы имеют общее свойство — они соблюдают золотую пропорцию.

Видео: Cristóbal Vila
Так легко ли найти эти «золотые» или «божественные» формы в окружающей нас среде? То есть за пределами дисциплин, таких как архитектура или дизайн, которые явно намеренно используют формы и геометрию? А что насчет природы или даже космоса? Золотую пропорцию можно найти в пирамидах в Египте, логотипе Google, в лепестках роз и даже в формах галактик.В «Джоконда» Леонардо да Винчи, микроскопическая структура некоторых кристаллов и музыкальные партитуры Дебюсси. Может ли это быть самое поразительное число в мире? Или, альтернативно, искажаем ли мы реальность, стремясь увидеть математику там, где ее нет? Несомненно, эти факты заставляют нас признать, что математика имеет любопытную тенденцию вносить свой вклад в познание даже предметов, к которым она — или, по крайней мере, кажется — совершенно не связана.
Если вы хотите узнать больше о вездесущей золотой пропорции и узнать об удивительном разнообразии объектов, природных элементов и даже частей человеческого тела, в которых вы можете найти эту меру, не пропустите эту статью, в которой мы анализируем девять вещей, которые на удивление «обусловлены» математикой.
Дори Гаскуэнья для OpenMind
@dorygascu
Золотое сечение в науке, как источник случайной последовательности, его вычисление и за его пределами
Некоторые рациональные, а также некоторые иррациональные числа среди всех действительных чисел в математике являются очень особенными и очаровывают многие человеческие умы.С этими числами связана не только увлекательная история, но и замечательные физические явления, наблюдаемые критическими умами ученых, художников, архитекторов, инженеров, естествоиспытателей и спиритуалистов. Рациональное число 2 ⁿ и иррациональное число π — например, трансцендентное число, занимают особое место в информатике и математике соответственно. Некоторые из других известных чисел — это число Гильберта 22≈2,66514414269023, число Лиувилля ≈0.1100010000000000000000010000, который имеет 1 в 1-м, 2-м, 6-м, 24-м, 120-м и т.д. разрядах и нули в других местах, постоянная Эйлера – Маскерони γ = limn → ∞ (∑k = 1n1k − lnn) ≈0,577215664
, а числа ii = e −π / 2≈0,207879576350762, πe≈22,4591577183611 (считается (не доказано) трансцендентным числом) и eπ≈23,1406926327793. Здесь представлено еще одно чрезвычайно восхитительное, широко изученное иррациональное алгебраическое число (1 + 5) / 2≈1,61803398874989, называемое золотым сечением φ, и его широкое распространение в математике, особенно в геометрии, вычислительной науке, биологии, художественных произведениях, архитектуре, природе и не только. .В частности, цифры — даже случайно или систематически выбранные последовательные цифры или последовательные блоки цифр — золотого сечения могут использоваться в качестве источника равномерно распределенных случайных чисел. В отличие от любого из нескольких генераторов квази- и псевдослучайных чисел, использующих различные методы, здесь нам не нужно использовать никакой метод; только нам нужно выбрать последовательные / непоследовательные блоки цифр из сохраненного золотого сечения, и, следовательно, это будет самый быстрый способ получения случайных чисел. Эта идея получения случайных последовательностей, возможно, открывает новый эффективный способ решения многочисленных задач оптимизации, включая NP-трудную задачу коммивояжера с помощью эвристики с полиномиальным временем, такой как подходы муравьиной системы, генетические алгоритмы, моделирование отжига и другие рандомизированные алгоритмы.Кроме того, можно изучить, являются ли эти случайные числа, отсеянные по золотому сечению, квази (более равномерно распределенными) или псевдослучайными числами, включая их область действия среди других генераторов случайных чисел. Здесь представлено золотое сечение вместе с его вычислением до желаемого количества цифр с использованием одной команды Matlab vpa . Также описаны его вхождения в науку множеством способов и схему итераций с фиксированной точкой, помимо других методов ее вычисления. Продемонстрированы равномерное псевдослучайное распределение его цифр и его способность выполнять интеграции Монте-Карло с систематическим использованием последовательных блоков цифр.Упоминаются некоторые из интересных событий / явлений в природе, искусстве и архитектуре, в которых золотое сечение было обнаружено в точной / приблизительной форме. Эта статья — наш способ увидеть это удивительное число, золотое сечение, и показать его красоту. Включено несколько программ Matlab для читателя с возможностями Matlab. Это позволит ему / ей получить более глубокое представление о его характере на фоне нашего эстетического чутья и его необычайной тенденции всплывать в различных ситуациях посредством быстрых вычислений.
Что такое золотое сечение и почему оно должно быть красивым?
Фотография полна правил, от правила обратных квадратов до правила Санни-16; и укоренение среди правил композиции в золотом сечении. Но что именно? И что делает его композиционно ценным?
Золотое сечение — это математический принцип, который вы также можете услышать, называемый золотой серединой, золотым сечением, золотой спиралью, божественной пропорцией или Фи. Фи, немного похожее на Пи, является иррациональным числом.Его стоимость составляет примерно 1,618. В соотношении это будет 1: 1,618. Прямоугольник, соответствующий золотому сечению, будет иметь более короткие стороны, эквивалентные 1, и более длинные стороны, эквивалентные 1,618.
Вы получите это, разделив линию (c) на части (a) и (b), где (a), разделенное на (b), равно (c), разделенное на (a). Диаграмма помогает?
И если вы продолжите разделять свою божественно пропорциональную рамку в соответствии с золотым сечением, это может быть использовано в качестве вспомогательного средства для композиции.Используя его как композиционный инструмент, подобный правилу третей, он дает вам руководство по размещению объекта, которое теоретически представляет вам особенно красиво скомпонованное изображение.
Тогда возникает вопрос, почему (или, собственно, почему нет) мы находим пропорцию, поставленную неясной математической теорией, эстетически привлекательной?
Ищем золотое сечение
Для начала, золотое сечение имеет тенденцию с удивительной частотой возникать в естественном мире: от расположения листьев и семян до кристаллических структур из алюминиевого сплава.И может показаться, что большая часть мистики, окружающей эстетические свойства золотого сечения, проистекает из его естественных проявлений.
Золотое сечение где-то в семенах?
Даже если вы находите золотое сечение привлекательным, трудно найти объяснение его привлекательности, помимо расплывчатого утверждения о том, что его преобладание в природе придает ему какое-то мистическое свойство. Я склонен предположить, что его мифические качества усиливают его привлекательность. Если предполагается, что что-то представляет эстетическое совершенство, и никакая другая причина не поддерживает теорию, кроме его повторяющегося появления в природе, это становится самоисполняющимся пророчеством.
Тем не менее, профессор Адриан Бежан из инженерной школы Герцога Пратта выдвинул теорию, касающуюся нашего предпочтения золотого сечения, которая основана на его исследованиях вокруг идеи « потока », а также о том, как природные замыслы развиваются, чтобы сделать возможным постоянно увеличивающееся оперативность движения. В случае золотого сечения оно проистекает из потребности животного сканировать горизонт и быстро сообщать ему информацию. Предположительно, наиболее эффективная форма для этого — прямоугольник, ширина которого примерно в полтора раза превышает его высоту.Это примерно соответствует золотому сечению. По словам профессора Бежана: «Зрение животных должно быть настроено таким образом, чтобы просмотр и сканирование были самыми быстрыми и легкими. И когда пропорции позволяют это сделать, это должно быть источником удовольствия из-за его прошлых эволюционных ассоциаций с поиском пищи или спутника жизни ». (Вы можете прочитать об этом здесь, здесь и здесь.)
Вам это кажется немного надуманным? Как будто кто-то слишком старается, ищет слишком много ответов и делает слишком много приближений? Может быть.
Развенчание мифов
Чем больше вы смотрите на золотое сечение, тем больше становится очевидным, что нет никаких подтверждающих доказательств того, почему его следует отдавать предпочтение перед любым другим соотношением или пропорцией как эстетической высшей точкой.
Парфенон часто цитируется как пример практического применения золотого сечения в эстетических целях, в то время как Леонардо да Винчи считал, что человеческое тело имеет божественные пропорции, но ни один из них не выдерживает никакой критики.
Фидиас и его команда архитекторов и строителей построили Парфенон, используя передовую геометрию и глубокое понимание оптических иллюзий: колонны слегка выпуклые, цоколи и перемычки незаметно для невооруженного глаза, а внешние колонны шире, чем внутренние колонны , все это работает на то, чтобы огромная величественная структура выглядела элегантной и идеально пропорциональной, но если вы отправитесь искать золотое сечение в ее пропорциях, вы столкнетесь с проблемой.Если вы хотите применить золотое сечение к Джоконде, где именно вы измеряете? Нет очевидной отправной точки для использования золотого сечения.
Есть ли в зеленой цветной капусте золотая спираль?
Что еще более показательно, было проведено немало экспериментов, в которых испытуемых просили выбрать прямоугольники, которые они считают наиболее эстетичными, или расположить последовательность лиц в том порядке, в котором они считают наиболее привлекательным, и результаты были оказались неубедительными в отношении определения золотого сечения как «наиболее привлекательного».(Статьи, цитирующие исследования, которые ставят под сомнение привлекательность золотого сечения, можно найти здесь, здесь и здесь.) Испытуемые находили всевозможные прямоугольники эстетически приятными с соотношением от 1: 1,4 до 1: 1,7. Золотое сечение было особенно высоким. Когда дело доходит до лиц, критический вопрос: где взять соотношение? На лице так много потенциальных измерений, что золотое сечение можно найти практически где угодно, если присмотреться.
Доктор Марио Ливио, который буквально написал книгу о золотом сечении, утверждает, что попытки задним числом приписать золотое сечение произведениям искусства многочисленны, но в большинстве случаев их можно опровергнуть.
На самом деле, в предполагаемых примерах золотого сечения просто недостаточно согласованности, чтобы оправдать использование его точного значения в качестве определенного маркера эстетического совершенства.
Использовать или не использовать?
Но означает ли это, что фотографы, которые любят использовать золотое сечение в качестве инструмента композиции, должны отказаться от него, потому что в большинстве случаев факты говорят о том, что оно не делает ваши фотографии более привлекательными, чем любая другая теория? Нет, конечно нет. Это эстетическое предпочтение.Если вы находите это привлекательным и полезным, нет причин прекращать его использование в качестве вспомогательного средства для композиции. Но не сковывайтесь им и, конечно же, не чувствуйте себя обязанным использовать их, если они не заставляют ваше сердце трепетать.

Золотое сечение — что это такое? Числа Фибоначчи — это?

Здравствуйте, дорогие читатели!

Числа Фибоначчи — это что?

Что такое Золотое сечение или Божественная пропорция?

1², 2², 3², 5², 8²…

Золотое сечение и Числа Фибоначчи в природе ВИДЕО

Реферат золотое сечение — Автореферат диссертации

Оглавление

Введение

Глава 1 Золотое сечение — симметрия или ассиметрия?

Глава 2 Золотые фигуры

Глава 3 Применение золотого сечения и его фигур

Заключение

Список литературы

Что представляет собой золотое сечение в математике и науке

Золотое сечение и ряд Фибоначчи

Наука и золотое сечение

Золотая пропорция. новый взгляд. Золотое сечение: как это работает

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ИСТОРИЯ

ПРИРОДА

ЧЕЛОВЕК

ИСКУССТВО ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФОРМ

Золотое сечение в природе.

Форма предмета и ее восприятие

Понятие золотого сечения

Из древней истории золотого сечения

Новый период

золотой пропорции

Золотая пропорция в природе

Интересные факты о правилах золотого сечения

Золотое сечение в человеческом теле

О построении золотого сечения

Золотая пропорция в математике

Гармония в искусстве через золотое сечение

Золотое сечение: полное руководство по пониманию и использованию

Математика золотого сечения

Чтобы понять золотое сечение, вы должны сначала понять золотой прямоугольник

Вернемся к золотому прямоугольнику, потому что его намного легче понять.

Последовательность Фибоначчи

Золотые круги

Вы видели это раньше,

Золотое сечение в искусстве и дизайне

Давайте посмотрим на часто упоминаемый пример: Парфенон

Золотое сечение и дизайн веб-сайтов

Золотое сечение и макет

Золотое сечение и интервал

Золотое сечение и содержание

Почетное упоминание: Золотое сечение и изображения

Завершение

Фибоначчи и золотое сечение

Математика

Ключевые выводы

Докажи это

Исследования Фибоначчи и финансы

1. Уровни Фибоначчи

2. Дуги Фибоначчи

3. Веера Фибоначчи

4. Часовые пояса Фибоначчи

Итог

Что такое золотое сечение в математике? — Определение и примеры — Видео и стенограмма урока

Золотое сечение и геометрия

Золотое сечение и ваш мир

Резюме урока

Золотое сечение. Как только номеру присваивается его греческий язык… | Кэт Льюис

Все еще любопытно?

Фибоначчи и золотое сечение: божественная геометрия?

Спираль Фибоначчи

Вездесущность, наука или совпадение?

@dorygascu

Золотое сечение в науке, как источник случайной последовательности, его вычисление и за его пределами

Что такое золотое сечение и почему оно должно быть красивым?

Ищем золотое сечение

Развенчание мифов

Использовать или не использовать?

Добавить комментарий Отменить ответ