Переходя с помощью закона сложения скоростей назад в систему отсчета, связанную с землей, можно найти величину скорости лодки в зависимости от направления вектора скорости и далее рассчитать всю «кинематику» этой задачи. В некоторых случаях можно обойтись и без «возвращения на землю». Рассмотрим пример.
Пример 3.4. Лодка переправляется через реку. Как нужно плыть, чтобы переправиться за минимальное время? Чему равно это минимальное время? Какое время лодка затратит на движение по кратчайшему пути? Ширина реки l, скорость течения u, скорость лодки в стоячей воде v.
Решение. Решая эту задачу, школьники очень часто сразу дают ответ: «перпендикулярно берегам реки, поскольку в этом случае лодка пройдет минимальное расстояние». Этот «ответ», мягко говоря, не обоснован – ведь величина скорости лодки относительно земли (а именно она фигурирует в таких рассуждениях) зависит от направления ее движения, и может оказаться, что на движение по более длинной траектории, но с большей скоростью, лодка затратит меньшее время.
Чтобы разобраться со скоростью лодки, заметим, что если бы вода покоилась, величина скорости лодки не зависела бы от направления ее движения (скорость лодки в этом случае определяется только мощностью ее мотора или усилиями гребца), а направление могло бы быть любым (оно определятся только желанием лодочника). Таким же будет движение лодки в системе отсчета, связанной с текущей водой. Поэтому переправа будет наибыстрейшей в том случае, когда скорость лодки относительно воды направлена перпендикулярно берегам реки. Это значит, что в случае наибыстрейшей переправы треугольник скоростей является таким, как это показано на рис. 3.6, и, следовательно, в системе отсчета, связанной с землей, лодка должна плыть под углом
(3.15)
к берегам реки (см. рис. 3.6)1.
1 Другими словами, чтобы переправиться за минимальное время, нужно не плыть в направлении, перпендикулярном берегу, а развивать усилие в направлении, перпендикулярном берегу, – довольно очевидный результат.
Глава 1. Механика
Лабораторная работа 1.1. Относительность движения
Модель демонстрирует относительность движения на примере лодки, пересекающей реку. Изменяя модуль и направление скорости лодки, скорость течения реки и точку старта лодки, наблюдайте за траекторией переправы лодки через реку. Скорость лодки в системе отсчета, связанной с Землей, равна векторной сумме скорости лодки относительно воды и скорости течения реки
Вопрос №1
Лодка пересекает реку, причем собственная скорость лодки направлена перпендикулярно течению. Какова скорость лодки относительно берега, если скорость лодки в стоячей воде υ’ = 4 м/с, а скорость течения реки υ
0 = 3 м/с?
1 м/с
3 м/с
4 м/с
5 м/с
7 м/с
Вопрос №2
Лодка пересекла реку шириной 100 м за 100 с, причем собственная скорость лодки была направлена вверх по течению под углом 60° к линии, перпендикулярной берегу.
Определите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет υ0 = 3 м/с.
1 м/с
2 м/с
3 м/с
4 м/с
5 м/с
Вопрос №3
При переправе через реку шириной 100 м лодку снесло вниз по течению на 202 м. Учитывая, что собственная скорость лодки была направлена вниз по течению под углом 30° к линии, перпендикулярной берегу, определите скорость течения реки. Скорость лодки в стоячей воде составляет υ’ = 4 м/с.
2 м/с
3 м/с
4 м/с
5 м/с
Вопрос №4
Как изменится минимальное время переправы лодки через реку, если скорость течения реки возрастет в 3 раза, а скорость лодки в стоячей воде возрастет в 1,5 раза?
Увеличится в 3 раза
Увеличится в 1,5 раза
Уменьшится в 1,5 раза
Уменьшится в 2 раза
Вопрос №5
Лодка переправляется через реку за минимально возможное время. Как изменится расстояние, на которое лодку снесет вниз по течению, если скорость течения реки возрастет в 2 раза, а скорость лодки в стоячей воде уменьшится в 1,5 раза?
Увеличится в 2 раза
Увеличится в 3 раза
Увеличится в 3,5 раза
Останется неизменным
Задача №1
Лодка пересекает реку, причем собственная скорость лодки направлена перпендикулярно течению. Какова скорость лодки относительно берега, если ее скорость в стоячей воде υ’ = 2 м/с, а скорость течения реки υ
Лодка пересекает реку, причём собственная скорость лодки направлена перпендикулярно течению. Скорость течения реки υ0 = 3 м/с, а скорость лодки в стоячей воде υ’ = 4 м/с. Определите время t, за которое лодка пересечёт реку шириной 100 м, а также расстояние x, на которое лодку снесёт вниз по течению.
Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ.
t = с, x = м
Задача №3
Лодка пересекает реку, причем собственная скорость лодки направлена перпендикулярно течнию. Определите координаты лодки x и y через 20 с после начала движения, если скорость лодки в стоячей воде υ’ = 2,5 м/с, а скорость течения реки υ0 = 1,5 м/с.
Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ.
x = м, y = м
Задача №4
Скорость лодки в стоячей воде υ’ = 5 м/с, а скорость течения υ0 = 2,5 м/с.
Под каким углом к линии, перпендикулярной берегу, следует направлять лодку, чтобы она пересекла реку по кратчайшему пути? Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ.
θ = °
Задача №5
Лодка переплывает реку шириной 120 м, двигаясь перпендикулярно берегу. За какое время лодка пересечет реку, если скорость лодки в стоячей воде υ’ = 5 м/с, а скорость течения реки υ0 = 3 м/с?
Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ.
t = с
Задача №6
Гребец пересек на лодке реку шириной 100 м за 25 с, перемещаясь перпендикулярно берегу. Определите скорость течения реки υ0, если на озере при тех же усилиях гребец мог перемещаться со скоростью υ’ = 5 м/с.
Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ.
υ0 = м/с.
Вопросы для лабораторных работ
Задачи для лабораторных работ
Основы алгоритмики. Разбор задач «Переправы и переезды».
Переправы и разъезды
ПЕРЕПРАВЫ
В задачах на переправы кто-то через что-то переправляется. В таких задачах принято (если явно не оговорено иного), что из подошедшей к берегу лодки все должны выйти на берег, даже тот, кто собирается плыть обратно. Иными словами, нельзя «выпрыгивать» и «выкидывать» что-то на берег.
Задач, в которых речь идет о переправах, очень много. Приведем два известных сюжета.
ПУТНИКИ И ДВУХМЕСТНАЯ ЛОДКА
Путник подошел к реке, по которой на лодке катались двое мальчиков. Как ему переправиться на другой берег и вернуть лодку детям, если лодка вмещает либо только одного взрослого, либо двоих детей? А как быть, если путников двое? Трое? Очень много?
РЕШЕНИЕ
Научимся сначала переправлять одного путника. Пусть он стоит на левом берегу и собирается переехать на правый. Сперва оба мальчика плывут на правый берег, один из мальчиков остается на правом берегу, а другой плывет на левый. Там он вылезает и ждет, пока путник переправится на правый берег. После чего мальчик, который был на правом берегу, садится в лодку и плывет за вторым мальчиком на левый берег.
Повторяя эти действия, можно переправить любое количество путников.
ВОЛК, КОЗА И КАПУСТА
Крестьянин направлялся домой вместе с волком, капустой и козой. Всю дорогу он следил, как бы волк не съел козу, а коза капусту. Наконец, он подошел в реке, около берега которой нашел лодку. В лодке может поместиться, кроме крестьянина, либо только коза, либо только капуста, либо только волк. Как крестьянину переправить зверей и капусту, чтобы никто никого (и ничего) в процессе не съел?
РЕШЕНИЕ
Сперва крестьянину придется перевезти козу (если взять волка, то коза съест капусту, а если взять капусту, то волк съест козу). Затем он оставляет козу пастись на противоположном берегу и возвращается к волку и капусте. Теперь крестьянин может забрать, например, волка и перевезти его на противоположный берег. Осталось вернуться за капустой, но нельзя же оставить волка наедине с козой! Поэтому козу придется забрать с собой обратно на исходный берег. Далее крестьянин оставляет ее еще немного погулять и перевозит капусту. А затем возвращается за козой.
Канатная дорога
К кабинке канатной дороги на гору подошли четверо с весами 50, 75, 75 и 100 кг. Смотрителя нет, а в автоматическом режиме кабинка ходит туда-сюда только с грузом от 110 до 260 кг (в частности, пустой не ходит), при условии, что пассажиров можно рассадить на две скамьи так, чтобы веса на скамьях отличались не более, чем на 30 кг. За какое наименьшее количество переездов они все смогут подняться на гору? (Переезд – движение кабинки вверх или вниз).
Начало формы
За какое наименьшее количество переездов они все смогут подняться на гору?
Конец формы
Решение задачи
Всех перевезти за одну поездку не удастся: 50+75+75+100>260. Ехать в первую поездку только двоим бессмысленно — им же придется и вернуться. Следовательно, в первый раз едут трое, и это люди весом 50 кг, 75 кг и 100 кг. Затем можно, например, спуститься тем, кто весит 50 кг и 75 кг. Затем вверх поднимаются оба весящие 75 кг. Вниз спускаются весящие 75 кг и 100 кг. И, наконец, вверх поднимаются люди весом 50 кг, 75 кг и 100 кг. Итого 5 переездов.
Есть еще второй (аналогичный) вариант, когда во второй поездке вниз спускаются те, кто весит 75 кг и 100 кг.
Горная река
К бурной горной реке подошли трое путников, первый весом 50 кг, второй весом 45 кг, а сколько весит третий – точно он не помнит, но где-то от 70 до 80 кг. Около берега стоит старая лодка, на которой есть надпись “Больше 100 кг не выдержит!”. За какое наименьшее количество переправ путники смогут переправиться через реку?
Начало формы
За какое наименьшее количество переправ путники смогут переправиться через реку?
Решение задачи
Все сразу переправиться не сумеют, одному ехать смысла нет, поэтому пусть первыми едут двое более легких. Затем пусть один из них останется на другом берегу, а второй в лодке вернется за третьим, самым тяжелым путником. Теперь переправляется в одиночестве самый тяжелый, а затем уже переправившийся легкий возвращается за оставшимся легким туристом.
Мушкетеры
Атос, Портос, Арамис и Д’Артаньян сидели за круглым столом (именно в такой последовательности), заспорили, и каждый поссорился со своими двумя соседями. Чтобы ехать дальше, им надо переправиться через реку в двухместной лодке. Каждый из мушкетеров отказывается оставаться вдвоем на берегу или быть в лодке с тем, с кем он в ссоре. Как им переправиться за как можно меньшее количество переездов?
Ниже заглавными латинскими буквами обозначены возможные комбинации мушкетеров в лодке. Выведите в качестве ответа последовательность букв, соответствующую наискорейшей переправе. Например, последовательность AAEA соответствует тому, что сначала переправился один Д’Артаньян и затем вернулся обратно, после этого на лодке переехали Д’Артаньян и Арамис, Арамис остался на противоположном берегу, а Д’Артаньян вернулся назад к Портосу и Атосу.
Д’Артаньян B. Атос C. Арамис D. Портос E. Д’Артаньян и Арамис F. Д’Артаньян и Атос G. Д’Артаньян и Портос H. Арамис и Атос I. Арамис и Портос J. Атос и Портос
Конец формы
Решение задачи
Сначала переезжают мушкетеры, которые сидят напротив друг друга, то есть, либо Атос и Арамис, либо Д’Артаньян и Портос. Пусть это будут Атос и Арамис. Теперь один из них, например, Атос, остается на берегу, а второй (Арамис) возвращается обратно. Он остается на исходном берегу, а переправляется вторая пара мушкетеров, сидевших напротив (Д’Артаньян и Портос). Теперь Д’Артаньян и Портос и остаются на конечном берегу, а Атос возвращается за Арамисом. Получаем такую последовательность: HCGBH.
Еще три возможных варианта ответа: HBGCH, GAHDG, GDHAG.
Эльфы и гномы
Эльфы и гномы не любят друг друга, и если где-то одних оказывается по-крайней мере вдвое больше, чем других, они обязательно нападают. К левому берегу реки подошли 3 гнома, а к правому — 3 эльфа. Каждому нужно на противоположный берег. У левого берега есть двухместная лодка. Грести умеют один гном и один эльф.
Начало формы
За какое наименьшее количество переездов через реку им удастся переправиться без нападений?
Конец формы
Решение задачи
Задача решается однозначно. Сначала обязательно переправляются два гнома (если поплывет один, эльфы на него нападут). Теперь на правом берегу 2 гнома и 3 эльфа. Если обратно поплывут два эльфа, гномы нападут на оставшегося эльфа. Если обратно поплывут гном и эльф, эльфы нападут на оставшегося гнома. Следовательно, обратно плывет один эльф (который умеет грести). Он забирает оставшегося гнома и перевозит его на правый берег. Совершены три поездки и теперь все на правом берегу.
Чтобы никто ни на кого не напал, уехать может или один любой персонаж или гном с эльфом. Одному ехать нет смысла, поэтому отправляются гном, который умеет грести и эльф, который грести не умеет. Гном возвращается обратно и переправляются два эльфа (один из них умеет грести.)
Фонарик на мосту
Семья (папа, мама, сын и бабушка) ночью подошла к мосту, способному выдержать только двух человек одновременно. По мосту можно двигаться только с фонариком. Известно, что папа может перейти мост в одну сторону за минуту, мама – за три, сын – за шесть и бабушка – за десять минут. Если по мосту движутся двое, время перехода определяется более медленным из двоих. За какое наименьшее время они сумеют переправиться? (Фонарик у них один, кидать его нельзя, светить издали тоже нельзя.)
Решение задачи
Если всех будет по очереди переводить папа, то получится слишком долго.
Поэтому поступим так: папа переведет маму (3 минуты) и вернется обратно (1 минута). Затем пойдут два самых медленных — сын и бабушка (10 минут), а обратно фонарик принесет мама (3 минуты). Затем перейдут мама и папа (3 минуты). Итого: 3 + 1 + 10 + 3 + 3 = 20 минут.
Задачки на переправу через реку
Коза, волк и капуста
Крестьянин купил на базаре козу, кочан капусты и волка. По дороге домой надо было переправиться через реку. У крестьянина была маленькая лодка, в которую кроме него могла поместится только одна из его покупок.
Как ему переправить все товары через реку, если нельзя оставлять козу наедине с капустой и волка наедине с козой?
Людоеды и миссионеры
Три миссионера и три людоеда должны перебраться через реку. У них есть одна лодка, в которой помещаются только двое. Во избежание трагедии нельзя оставлять вместе больше людоедов, чем миссионеров.
Как переправиться через реку?
Семья
Отец, мать и двое детей – сын и дочь, должны переравиться через реку. Поблизости случился рыбак, который мог бы одолжить им свою лодку. Однако, в лодке могут поместится только один взрослый или двое детей.
Как семье переправиться через реку и вернуть рыбаку его лодку?
Первыми переправляются дети. Сын возвращается к маме-папе. Папа едет на берег к дочери, потом дочь едет за братом и возвращается с ним к папе. Сын едет к маме, отдает ей лодку, чтобы она переплыла к папе и дочери.
После того, как мама переправилась, дочь садится в лодку и едет к брату, подбирает его, и вместе они едут к родителям. Дочь остается с родителями, а сын едет к рыбаку, отдает ему лодку. Рыбак едет к родителям и высаживается. Дочь садится и едет за братом, привозит его с собой обратно (наконец-то вся семья снова вместе), они отдают лодку рыбаку. Лодка пересекла реку 13 раз.
Люди и обезъяны
Три человека, одна большая и две маленькие обезъяны должны переправиться через реку. Есть одна лодка, в которой может поместиться не больше двоих. Только люди и большая обезъяна умеют грести. Нельзя, чтобы оставались вместе больше обезъян, чем людей, иначе обезъяны сожрут людей. Обезъяны могут выпрыгивать на берег, когда лодка причаливает.
Как им переправиться через реку?
Боязнь темноты
Одной семье надо пройти на другую сторону длинного, узкого и очень тёмного тоннеля. Отец может пройти сквозь тоннель за 1 минуту, мать – за 2, сын – за 4 и дочь за 5 минут. У них есть один факел, которого хватит ровно на 12 минут. В тоннеле могут идти не больше двух человек с факелом.
Как всей семье перебраться на другую строну тоннеля, если все боятся темноты?
Переправа через реку – игра
Цель игры – переправить всех людей через реку соблюдая следующие правила:
На пароме могут находится не более 2-х человек.
Только взрослые (отец, мать и полицейский) могут упралять паромом.
Отец не может находится вместе с девочками в отсутствии матери.
Мать не может находится вместе с мальчиками в отсутствии отца.
Вор не может находится вместе с любыми членами семьи в отсутствии полицейского.
Click кружок, чтобы начать игру.
Click персонаж, чтобы переправить его на паром.
Click красную ручку, чтобы отправить паром на другую сторону.